Me he encontrado con la siguiente afirmación en mis clases, pero no puedo demostrarla con rigor.
Declaración: Dos formas bilineales complejas simétricas son equivalentes si y sólo si sus rangos son iguales.
Definición: Decimos que dos formas bilineales simétricas son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra por cambio lineal de variables.
Antes de este enunciado hemos tratado el siguiente bonito teorema:
Teorema: Para cualquier función bilineal simétrica compleja $\xi$ existe una base tal que la matriz de $\xi$ es diagonal con $1$ y $0$ 's.
Así que vamos a intentar demostrar esta afirmación:
$\Rightarrow$ Dejemos que $\xi,\eta:V\times V\to \mathbb{C}$ sean dos funcionales bilineales. Los podemos como la forma bilineal:
$\xi(x,y)=X^TAY$ y $\eta(u,v)=U^TBV$ , donde $X,Y,U,V$ son columnas del vector y $A=[\xi(e_i,e_j)]$ y $B=[\eta(e_i,e_j)]$ son matrices de $\xi$ y $\eta$ respectivamente y $\{e_1,\dots,e_n\}$ es una base de $V$ .
Desde $\xi$ y $\eta$ son equivalentes, así que supongamos que WLOG $\eta$ se obtiene de $\xi$ por cambio lineal de variables, es decir
$$\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_{11} & \cdots & {d_{1,2n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{2n,1} & \cdots & d_{2n,2n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$ o disparado $\dbinom{X}{Y}=D\dbinom{U}{V}$ donde $D$ es un $2n\times 2n$ matriz con $\det D\neq 0$ .
Y no sé qué hacer después.
Puede alguien dar la prueba rigurosa de esta afirmación (ambos lados) ya que lo he intentado desde ayer y sin resultados. ¡Estaría muy agradecido por la ayuda!
