$\int \frac{du}{u-2}=-\int dx $ ¿dónde está mi estúpido error?

Question

Estoy luchando con esta oda tan sencilla ya que me da 2 soluciones diferentes según donde ponga el menos.

de $$\int \frac{du}{u-2}=-\int dx $$ sigue $$ln|u-2|=-x +ln|C|$$ que da como resultado $$u=2+Ce^{-x}$$

Ahora bien, si vuelvo a plantear la primera ecuación como

$$\int \frac{du}{2-u}=\int dx$$ entonces $$ln|2-u|=x+ln|C|$$ que da $$u=2-Ce^x$$

Lo sé, probablemente haya un error bastante estúpido, pero no lo veo. ¿alguna pista?

Answer 1

Cuando se integra la segunda integral, se olvida el signo menos. Es decir, deberías tener: $$ \int \frac{du}{2-u} = - \ln|2-u|.$$ (Recuerda la regla de la cadena o la integración por sustitución. )

Answer 2

Podemos escribir $$\int \frac{du}{2-u} = - \int \frac{du}{u-2} = -\ln(u-2) + c$$

Para ampliar el dominio de la antiderivada, escribimos finalmente: $$\int \frac{du}{2-u}=-\ln(|u-2|)+c$$