Una forma más sencilla de comprobar si una secuencia es uniformemente convergente

Question

Dejemos que $f_n(x)=(1+x^n)^\frac{1}{n}$ en $[0, \infty)$ .

Quiero comprobar si esto es uniformemente convergente.

Su límite puntual es $$f(x)=\begin{cases} x \text{ if } |x|\geq1\\ 1 \text{ if } |x|<1\\ \end{cases}$$

Mi primer intento fue utilizar la prueba M de Weierstrass para comprobar si es uniformemente convergente. Tengo que hacerlo para dos casos $x<1$ y $x \geq 1$ . Fijando la derivada igual a cero:

$(x^n+1)^{\frac{1}{n}-1}x^{n-1}-1=0$
$(x^n+1)^{\frac{1}{n}-1}x^{n-1}=1$

En este punto me quedo atascado. He intentado utilizar SageMath sin éxito. Me pregunto si estoy enfocando este problema correctamente.

Answer 1

En primer lugar, observe que $(1+x^n)^{1-\frac{1}{n}} \geq x^{n-1}$ para que $0\leq f_n'(x) \leq 1$ para todos $x\in [0,\infty)$ . Esto da que, para $x\geq 1$ , $f_n'(x)-f'(x)\leq 0$ lo que significa que esta diferencia no es creciente por lo que $$ \sup_{x\in [0,\infty)} |f_n(x)-f(x)| \leq f_n(1)-f(1) = 2^{1/n}-1 \to 0 $$ por lo que la convergencia es uniforme en $[1,\infty)$ . El límite para $f_n'$ y Arzelà-Ascoli dan la convergencia uniforme en $[0,1]$ .