¿Por qué debe ser positivo y distinto de 1 el base de un logaritmo?

Question

¿Por qué la base de un logaritmo debe ser un número real positivo que no sea igual a 1? ¿Y por qué $x$ debe ser positivo?

Gracias.

Answer 1

Por definición, $\log_bx$ es el número para el cual, si elevas $b$ a esa potencia, obtienes $x$. Simbólicamente: $$b^{\log_b x} = x$$ Por ejemplo, ¿a qué potencia necesitamos elevar $2$ para obtener $4$? Bueno, es $\log_24 = 2$. ¿A qué potencia necesitamos elevar $81$ para obtener $9$? Bueno, es $\log_{81}9 = 0.5$.

¡Pregúntate qué significa $\log_1x$. Es la potencia, digamos $p$, para la cual $1^p=x$.

A menos que $x=1$, no hay solución, y cuando $x=1$ cualquier potencia es válida, así que $\log_11$ es cualquier número.

Por la misma razón, $\log_0$ no tiene sentido porque no podemos resolver $0^y=x$ a menos que $x=0$, y cuando $x=0$, cualquier potencia es válida, así que $\log_00$ podría ser cualquier número.

¿Por qué solo se pueden aplicar logaritmos a argumentos positivos? Bueno, $\log_2(-1)$ sería la potencia, digamos $p$, para la cual $2^p = -1$. Con suerte, puedes ver que $2^p > 0$ para todos los números reales $p$.

Answer 2

¡Esta explicación está utilizando mi propia lógica, así que por favor no piensen que es un libro de texto en absoluto!

Consideremos una base negativa hipotética de $-4$, por lo tanto la función no definida (inexistente) $y$ $=$ $log$$_{-4}$$(x)$. Este logaritmo sería el inverso de la función $y$ $=$ $(-4)$$^x$, la cual solo puede evaluarse para exponentes que puedan ser escritos como una fracción donde el denominador es impar. Recuerda que un exponente racional, como $(-4)$$^{a/b}$, representa una raíz, específicamente $\sqrt[b]{(-4)^a}$, y un número negativo solo puede ser evaluado para una raíz impar (usando números reales). Por ejemplo, $(-4)$$^{1/2}$ significa $\sqrt{-4}$ lo cual es una respuesta no real.

Por lo tanto, una función exponencial con una base negativa, como $y$ $=$ $(-4)$$^x$, no es exactamente una función en absoluto (no es continua), ya que solo puede evaluarse en valores de x muy específicos. Entonces, un logaritmo con una base negativa, como $y$ $=$ $log$$_{-4}$$(x)$, también solo funcionaría para argumentos muy específicos (debido a su conexión con la no continua $y$ $=$ $(-4)$$^x$) y tal función logarítmica tampoco sería continua.

Es por estas razones que solo consideramos logaritmos con bases positivas, ya que las bases negativas no son continuas y generalmente no son útiles. ¡Espero que esta explicación tenga sentido y sea algo útil!

Answer 3

No soy matemático en absoluto, pero durante una rápida reflexión, me encontré a mí mismo una explicación simple:

Siempre he aprendido que $\log a(x) = \ln(x)/\ln(a)$ Como todo dentro de una función ln, a debe ser estrictamente positivo. Y como $\ln(a)$ está en el denominador, $\ln(a) \ne 0$, por lo que $a \ne 1

Por eso la base debe ser positiva y diferente de 1.

Estoy bastante seguro de que no es nada riguroso, ¿pero tal vez sea más fácil de recordar?

Gracias por sus comentarios

Answer 4

Como el logaritmo es la función inversa de la operación exponencial, es decir: si $a^b=c$, entonces $b=\log_a(c)$.

Como puedes ver, si $a=1$, $1^b=1, \forall b\in\mathbb{R}$, y no tendría sentido estudiar este caso.

Con respecto a su signo: si $a<0$, entonces $a=(-1)\cdot (-a)$, por lo tanto: $$ a^b=(-1)^b\cdot (-a)^b, $$ lo que llevará a una alternancia en el signo, y sería más difícil de estudiar.

Si $a>0$ entonces, también $c>0$.

Answer 5

Creo que puedes sacar el logaritmo de un número negativo dependiendo de la base. por ejemplo, resolver la solución de 〖-2〗^x=-8 que puede reescribirse como 〖log〗_(-2) (-8)=3