Tengo problemas para escribir esta función en términos de $x$

Question

Tengo dos funciones, $x^2 + y^2 = 1$ y $x^2 + (y-1)^2 = 1$ pero no sé cómo poner la segunda función en términos de $x$ como puedo con la primera $y = \sqrt {1-x^2}$ . La solución dice que es $y = 1- \sqrt {1-x^2}$ pero no sé cómo lo han conseguido.

Answer 1

$$(y-1)^2=1-x^2$$ $$(y-1)=\pm\sqrt{1-x^2}$$ $$y=1\pm\sqrt{1-x^2}$$

Answer 2

Si puedes hacer $x^2+y^2=1\iff y=\pm\sqrt{1-x^2}$

Entonces sustituye $Y=y-1$ en el segundo te da $x^2+Y^2=1\iff Y=\pm\sqrt{1-x^2}$

Ahora bien, como $y=Y+1$ se obtiene $y=1\pm\sqrt{1-x^2}$

Si está desconcertado por los signos antes de la raíz cuadrada o por la sustitución $Y=y-1$ ? Sólo recuerda que $y^2=a$ tiene dos soluciones $y=\sqrt{a}$ y $y=-\sqrt{a}$

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Edición: respuesta al comentario.

Aún así, si se amplía a $x^2+y^2-2y+1=1$ se puede considerar la cuadrática $y^2-2y+x^2=0$

Cuyo $\Delta=2^2-4x^2=4(1-x^2)$ y las raíces vienen dadas por

$y=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{1-x^2}}{2}=1\pm\sqrt{1-x^2}\quad$ como encontramos directamente.