Tratamiento de áreas negativas: geometría de coordenadas

Question

Pregunta:

Halla el área de un cuadrilátero en el plano cartesiano, cuyos vértices son (-4, 5), (0, 7), (5, -5) y (-4, -2)

Mi solución:

[Quise dibujar B(0,7) En su lugar, dibujé B(7, 0) , disculpas. Aunque, el resto sigue siendo aplicable].

Area(ABCD) = Ar(ABC) + Ar(ADC)

Dejemos que A(-4, 5) be (x1, y1) ; B(0, 7) be (x2, y2) ; C(5, -5) be (x3, y3)

Aplicando la fórmula:

Tengo Ar(ABC) = -58/2

Ahora, dejemos que C y A tengan las mismas coordenadas y D(-4, -2) be (x2, y2) Tengo Ar(ADC) = 63/2 .

Ahora, Ar(ABCD) = Ar(ABC) + Ar(ADC)

= 58/2 + 63/2 (no -58/2 ya que el área no puede ser negativa)

= 121/2

Mi pregunta: ¿es correcta mi afirmación de que el área no tiene un valor negativo o he hecho algo mal y por eso me sale un valor negativo? Porque si no considero que el área es positiva, obtengo una diferente, equivocado responder.

Answer 1

Suponiendo que el único problema que tenías era el signo negativo y que tu figura no tiene ángulos reflejos, sí, tu respuesta debería ser correcta: el área de los triángulos es efectivamente el valor absoluto de la respuesta que obtienes de tu expresión. Es un poco difícil leer las fórmulas que estás utilizando, pero básicamente, si lo compruebas, lo que sale es lo siguiente $$\text{ar}(ABC)=-\text{ar}(ACB)$$ es decir, si rodeamos el triángulo en sentido contrario, obtenemos un signo negativo. Así es como tiene que ser la geometría de coordenadas, porque la mayoría de las expresiones que se te ocurran que puedan hablar razonablemente del área (que no invoquen valores absolutos) serán negativas para algún punto. Podríamos decir que esto da un orientación al plano, en el sentido de que estamos asignando (por ejemplo) triángulos con vértices en el sentido de las agujas del reloj para que sean positivos y triángulos con vértices en el sentido contrario para que sean negativos (o viceversa).

Por supuesto, es posible que el área de un cuadrilátero $ABCD$ no es igual a $$|\text{ar}(ABC)|+|\text{ar}(ADC)|$$ por ejemplo, cuando el ángulo $D$ es un ángulo reflejo, esto arroja una respuesta incorrecta. Sin embargo, la expresión $$|\text{ar}(ABC)+\text{ar}(BCD)|$$ siempre funcionará porque, en cierto sentido, conservamos la orientación de nuestros triángulos entre sí (por lo que, si se anulan, es que debían hacerlo - la respuesta global puede ser de signo equivocado, pero cuando tomamos un valor absoluto después de Además, esto funciona).