Necesito resultados que transformen la convergencia puntual de las funciones en convergencia uniforme. Como no me satisfacen los teoremas de Dini, tengo que demostrar el siguiente resultado:
Dejemos que $K$ sea un espacio topológico compacto, y $C(K)$ el espacio de las funciones continuas de $K$ a $\mathbb{R}$ que es un espacio de Banach una vez dotado de la norma uniforme $\Vert \cdot \Vert_{C(K)}$ .
Dejemos que $(f_i)_{i\in I}$ sea una red en $C(K)$ y $f \in C(K)$ . Hacemos las dos siguientes suposiciones:
1) Para cualquier red $(x_i)_{i \in I}$ convergiendo a algún $x$ en $X$ tenemos $f_i(x_i) \rightarrow f(x)$ $\ $ (en particular, $f_i$ es convergente puntualmente a $f$ ),
2) La red $(f_i)_{i \in I}$ está acotado en $C(K)$ .
Entonces $f_i$ converge a $f$ uniformemente en $K$ .
Así que mi pregunta está en el título: ¿has visto alguna vez este resultado? Si es así, ¿tiene una referencia donde pueda encontrarlo? No parece estar cerca de los teoremas de Dini, ya que aquí no hay monotonía. Evidentemente, los ingredientes principales aquí son la compacidad de $K$ e hipótesis 1). Esta última es más fuerte que la convergencia puntual, y recuerda de alguna manera la $\Gamma$ -convergencia .
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Por si acaso, pongo aquí la prueba del resultado :
Si escribimos $r_i:=\Vert f_i - f \Vert_{C(K)}$ Sólo tenemos que demostrar que $r_i$ tiende a cero. Debido a la hipótesis 2), sabemos que $(r_i)_{i \in I}$ está acotado en $\mathbb{R}$ Por lo tanto, es relativamente compacto. Por lo tanto, todo lo que necesitamos demostrar es que cualquier punto límite de $(r_i)_{i \in I}$ es cero.
Dejemos que $r \in \mathbb{R}$ sea tal punto límite, entonces existe una subred (que señalo abusivamente:) $(r_j)_{j \in I}$ tal que $r_j$ tiende a $r$ . A partir de la definición de $\Vert \cdot \Vert_{C(K)}$ tenemos $r_j=\sup\limits_{x \in K} \vert f_j(x) - f(x) \vert$ para todos $j \in I$ . Por hipótesis, $f_j - f$ es continua en la compacta $K$ por lo que, por el teorema del valor extremo, existe algún $x_j \in X$ tal que $r_j = \vert f_j(x_j) - f(x_j) \vert$ .
La red $(x_j)_{j \in I}$ se encuentra en el compacto $X$ por lo que existe una subred $(x_k)_{k \in I}$ que convergen en $X$ a algunos $x$ . En particular, debido a la hipótesis 1), obtenemos $r_k=\vert f_k(x_k) - f(x_k) \vert \rightarrow 0$ . Así que podemos concluir que $r=0$ .
