¿Cómo puedo ampliar $(a+b)^{q} = a^q + b^q + \cdots$ ?

Question

Me pregunto si puedo ampliar $$(a+b)^{q} = a^q + b^q + \cdots$$ para $a,b\in\mathbb R$ y $q\ge 1$ . Sé que hay una expansión binomial para $q \in \mathbb Z^+$ Sin embargo, me pregunto si existe algo realmente positivo $q$ .

Answer 1

Supongamos que $|a| > |b|$ . Tenemos la serie binomial $$(1 + x)^q = \sum_{n=0}^\infty \binom qn x^n, \qquad |x| < 1$$ donde $$\binom qn = \frac{q \cdot (q-1) \cdots (q-n+1)}{n!}$$ Por lo tanto, $$(a+b)^q = a^q \left(1 + \frac ba\right)^q = a^q \sum_{n=0}^\infty \binom qn \frac{b^n}{a^n} = \sum_{n=0}^\infty \binom qn a^{q-n}b^n$$

Answer 2

Supongamos que tratamos de encontrar la expansión taylor serier de
$$f(x)=(1 + x)^q =a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+..... , \qquad |x| < 1$$ $$f(0)=a_0$$ $$f(0)=(1 + 0)^q=1$$

Así, $a_0=1$

Ahora toma derivados ambos lados $$f'(x)=q(1 + x)^{q-1} =a_1+2a_2x+3a_3x^2+.....$$ $$f'(0)=q(1 + 0)^{q-1} =a_1$$

Así, $a_1=q$

Ahora toma derivados ambos lados de nuevo $$f''(x)=q(q-1)(1 + x)^{q-2} =2a_2+3.2a_3x+4.3a_4x^2+.....$$ $$f''(0)=q(q-1)(1 + 0)^{q-2} =2a_2$$

Así, $a_2=\frac{q(q-1)}{2}$

Si sigues por ese camino conseguirás

Así, $a_n=\frac{q(q-1)(q-2)....(q-(n-1))}{n!}=\binom qn$

Así que puedes escribir

$$f(x)=(1 + x)^q =\sum_{n=0}^\infty \binom qn x^n, \qquad |x| < 1 \tag{ 1}$$

Ahora el último paso para encontrar para

$$(a+b)^{q}$$

Utilizaremos el hecho anterior así Supongamos que $|a| > |b|$ .

puedes escribir $$a^q(1+\frac{b}{a})^{q}$$

y supongamos que llamamos $x=\frac{b}{a}$ Porque $|a| > |b|$ Así que $|x|=|\frac{b}{a}|<1$

$$(a+b)^{q}= a^q(1+x)^{q}$$ , donde $$|x|<1$$

podemos utilizar la fórmula de $(1)$

Finalmente podemos escribir

$$(a+b)^{q}= a^q(1+x)^{q}=a^q\sum_{n=0}^\infty \binom qn x^n,$$ , donde $$|x|<1$$

Si pones $x=\frac{b}{a}$

$$(a+b)^{q}= a^q\sum_{n=0}^\infty \binom qn x^n=a^q\sum_{n=0}^\infty \binom qn (\frac{b}{a})^n,$$ , donde $$|x|<1$$

$$(a+b)^{q}= a^q\sum_{n=0}^\infty \binom qn (\frac{b}{a})^n,$$ , donde $$|a| > |b|$$