Resolver la ecuación funcional $f\big(xf(y)-y\big)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy$

Question

El problema dice que:

Dejemos que $\mathbb{R}$ sea el conjunto de los números reales. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfaciendo la condición: $$f\big(xf(y)-y\big)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy$$ para todos $x,y\in \mathbb{R}$ .

Estoy un poco perdido en la solución, empecé a buscar algunos valores especiales.

Si $(x,y)=(0,0)$ : $$\begin{align} f\big(0f(0)-0\big)+f(0)+f(0)=0 \\ 3f(0)=0 \end{align}$$ Así: $f(0)=0$ .

¿Es correcto continuar y encontrar algunos valores por sustitución o hay otra técnica?

Porque descubrí que si $y=0$ : $$f\big(xf(0)\big)+f(-x)+f(x)=0$$ por lo tanto: $$\fbox{$ f(x)=-f(-x) $}\tag1\label1$$ Si $y=1$ : $$f\big(xf(1)-1\big)+f(0)+f(x)=2$$ Dando $0$ a $x$ : $$f(-1)=2$$ Utilizando \eqref {1} tenemos: $$\begin{align} f(-1)&=-f(1) \\ f(1)&=-2 \end{align}$$ Con todos estos valores concluyo que: $$f : x \mapsto -2x$$ Siento que estoy equivocado y que necesito otra técnica para resolver esto. Pero la condición se cumple: Ya que $f(x)=-2x$ así: $$\begin{align} f\big(xf(y)-y\big)&=-2\big(x\cdot (-2y)-y\big) \\ &=-2y+4xy\end{align}$$ y: $$f(xy-x)=-2xy+2x$$ También: $$f(x+y)=-2x-2y$$ Así: $$\begin{align}f\big(xf(y)-y\big)+f(xy-x)+f(x+y)&=2y+4xy-2xy+2x-2x-2y \\ &=2xy \end{align}$$ Sin embargo, creo que hay otra función, y esta técnica es errónea. Por favor, ayúdenme, y gracias de antemano.

Answer 1

Dejar $P(x,y)$ sea la afirmación $$f\big(xf(y)-y\big)+f(xy-x)+f(x+y)=2xy\text.$$

$P(0,0)$ da $f(0)=0$ .

$P(x, 0)$ : $f(-y)+f(y)=0$ por lo tanto $f$ es impar.

$P(-x, -y)$ da $$f\big(xf(y)+y\big)+f(xy+x)-f(x+y)=2xy\text.\tag{*}\label{*}$$

Conectando $x=1$ en \eqref {*}, obtenemos $f\big(f(y)+y\big)=2y$ Por lo tanto, $f$ es suryente.

$\therefore \exists a: f(a)=-1$ .

$P(x,a)$ : $f(-x-a)+f\big(x(a-1)\big)+f(x+a)=f\big(x(a-1)\big)=2ax$ (nota que $f$ es impar).

$\therefore f\big(x(a-1)\big)=2ax$ .

si $a=1$ , $f(0)=2x$ que no tiene sentido. así que $a\ne 1$ lo que implica que $f$ es lineal. Volviendo a la afirmación dada, obtenemos $f(x)=x$ .