Aproximación numérica de la solución de una EDO no única

Question

Supongamos que se tiene un PIV autónomo de primer orden $$x'(t)=f(x(t)), \quad x(t_0)=x_0$$ donde $x(t)\in\mathbb{R}$ y $x_0$ es un punto fijo de la ecuación. Claramente, $$x^0(t) \equiv x_0$$ es una solución a esta EDO. Sin embargo, supongamos que existe alguna otra solución no trivial $x^1(t)$ y que $f'(x(t))$ no existe cuando $t=t_0$ .

¿Existe un procedimiento numérico que resuelva aproximadamente el PIV y dé $x^1(t)$ como resultado?

Método de Euler, $x(t+h) = x(t)+hf(x(t))%$ converge claramente a la solución trivial $x^0$ , lo que puede verse mediante un simple argumento de inducción. Otros métodos de series de Taylor están fuera ya que $f$ no es diferenciable en $t_0$ . Parece que básicamente cualquier procedimiento numérico que converja a una solución de la ecuación convergerá a $x^0$ .

Ejemplo: $x'(t) = \sqrt{|x(t)|}, \quad x(0)=0$

$x^0(t)\equiv 0$ es una solución, y $x^1(t) = \frac{1}{4}t^2\text{sign}(t)$ es otro (Grimshaw, "Nonlinear Ordinary Differential Equations", pág. 21 ex. 3). Cualquier procedimiento numérico que le aplique converge a $x^0$ pero quiero uno que se aproxime a $x^1$ .

Answer 1

Por lo que sé, este tipo de problemas no suelen discutirse en el análisis numérico. El problema que se observa está claramente mal planteado.

Sin embargo, existe una rama de las matemáticas bastante nueva llamada "numérica probabilística" que intenta combinar métodos de la estadística y el análisis numérico. En principio, proponen reformular el problema para convertirlo en un problema estadístico bien planteado. Esto se ha hecho para todo tipo de análisis numérico, incluida la discretización de las EDO. Le sugiero que consulte Conrad et al. 2016 para los solucionadores de ODE probabilísticos y quizás en http://www.probabilistic-numerics.org para ver la imagen más grande.

Answer 2

Parece que están probando métodos numéricos explícitos. Por su naturaleza sólo pueden dar un único valor en el nuevo momento -- no se obtienen soluciones múltiples cuando se cantan métodos explícitos $y_{n+1} = g(y_n)$ . Los métodos implícitos implican la resolución de una ecuación implícita para $y_{n+1}$ en cada paso de tiempo. Esto debería permitir múltiples soluciones ya que los métodos de búsqueda de raíces deben ser capaces de manejar múltiples soluciones.

Prueba con Euler hacia atrás (en el primer paso): $y_1 - y_0 = dt\; y_1^{1/3}$ . La factorización del lado izquierdo da como resultado $(1-dt\;y_1^{-2/3})y_1=y_0$ . Tomamos $y_0=0$ y obtener dos soluciones para $y_1$ : $y_1=0$ y $y_1=dt^{3/2}$ . La segunda solución se aproxima a la solución deseada. Dependiendo del buscador de raíces que utilices, podrías obtener cualquiera de estas soluciones.

En este caso, una solución semi-implícita que pondera la evaluación del lado derecho como 1/3 en el tiempo antiguo y 2/3 en el tiempo nuevo dará un error numérico cero en el primer paso de tiempo para cualquier tamaño de paso - pero eso es específico de este ejemplo.