Prueba de que el paseo aleatorio visita el cero infinitas veces

Question

Dado que la función de Green $G(x,1)=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}_0}P(S_n=x), x\in\mathbb{Z}^d$ da el número esperado de visitas a $x$ en un paseo aleatorio, se me pide que demuestre lo siguiente:

Tengo que demostrar que $G(0,1)=\infty$ si y sólo si $G(x,1)=\infty$ para cualquier $x\in \mathbb{Z}^d$ .

¿Significa esto que el paseo aleatorio visita todos los puntos de la $d$ -espacio dimensional infinitas veces, ¿y cómo empiezo a demostrarlo?

Answer 1

Se puede demostrar un resultado aún más general: $G(x,1) = \infty$ si $G(y,1) = \infty$ para cualquier dos $x,y \in \mathbb{Z}^d$ . Pues supongamos que el paseo aleatorio visita $x$ infinitas veces. Cada vez que visita $x$ tiene una probabilidad positiva $p>0$ para visitar $y$ en $d(x,y)$ pasos de tiempo. Dado que visita $x$ con una frecuencia infinita, este evento con probabilidad $p$ también ocurrirá infinitas veces, por lo que visitará $y$ infinitamente a menudo también.

Por supuesto, esto es sólo la idea de la prueba, y para la prueba real tendrás que ser un poco más formal.