La ley de Coulumb establece que $$F \propto q_1 \cdot q_2 \tag{1} $$ y $$ F \propto \frac{1}{r^2} \tag{2} $$
¿Por qué podemos combinar estas dos proporciones en $$ F \propto \frac{q_1.q_2}{r^2}?$$ ¿Qué propiedad lo permite? Si las combinamos por la propiedad transitiva, ¿la relación final no debería ser $ q_1 \cdot q_2 \propto \frac{1}{r^2}$ ?
Digamos que queremos definir la fuerza electrostática entre dos cargas. ¿De qué sería una función? La suposición más sencilla es que debe estar relacionada con las cargas $q_1,q_2$ y la distancia $r$ entre los dos, $F\left(q_1,q_2,r\right)$ . Ahora bien, para obtener cualquier forma funcional necesitamos un experimento controlado en el que midamos la fuerza variando cualquiera de los tres parámetros a la vez mientras mantenemos los otros fijos. Al hacer estos experimentos encontramos lo siguiente,
Debido al hecho de que éstas son verdaderas sólo cuando los otros parámetros son fijos, no podemos "combinar" directamente las dos proporciones de manera significativa. Para ello, tenemos que hacer lo siguiente.
Obsérvese que la primera proporcionalidad es cierta para un $r$ . Así, en general, la constante de proporcionalidad debe ser algún número $\alpha_1$ multiplicado por alguna función de $r$ , digamos que $f(r)$ . Del mismo modo, la segunda constante de proporcionalidad debe ser $\alpha_2~g(q_1q_2)$ . Ahora que hemos convertido nuestras proporciones en igualdades, podemos utilizar la transitividad para obtener
$$\alpha_1f(r)q_1q_2=F=\frac{\alpha_2g(q_1q_2)}{r^2}\\ \alpha_1f(r)r^2= \frac{\alpha_2g(q_1q_2)}{q_1q_2} $$
Desde $\alpha$ son números, el LHS es puramente una función de $r$ y el RHS puramente una función de $q_1q_2$ La única manera de que la ecuación se cumpla es que ambos lados sean iguales a una constante (que puede ser 1 sin pérdida de generalidad). Esto sólo puede ocurrir si $f(r)=1/r^2$ y $g(q_1q_2)=q_1q_2$ y $\alpha_1=\alpha_2$ . Esto nos da finalmente (utilizando cualquiera de las proporciones)
$$F\propto \frac{q_1q_2}{r^2}$$
Las dos primeras fórmulas son útiles porque corresponden directamente a procedimientos experimentales básicos y prácticamente fáciles. Eso hace que se justifiquen fácilmente por los experimentos, y que sean útiles como "axiomas" para derivar otros, "teoremas".
La primera fórmula F∝q1.q2 corresponde a un experimento en el que mantenemos r constante, variamos q y medimos F. Es fácil mantener r constante en un experimento, porque hay cuerpos rígidos (al menos aproximadamente) y porque r es fácil de medir.
La segunda fórmula F ∝ 1/r2 corresponde a un experimento en el que mantenemos constantes las q, variamos r y medimos F. Es fácil mantener constantes las q en un experimento, porque existe una ley de conservación de la carga, y porque muchos materiales son aislantes eléctricos.
La cuarta fórmula q1.q2 ∝ 1/r2 corresponde a un experimento en el que mantenemos F constante mientras variamos r. Pero ese es un procedimiento experimental menos fácil. No hay ley de conservación de la fuerza, no hay fuerzas constantes naturales que nos ayuden.
La cuarta fórmula q1.q2 ∝ 1/r2 es, en cierto sentido, tan verdadera como las dos primeras. Pero no es muy útil, y eso es así porque no corresponde a un procedimiento experimental básico, prácticamente fácil.
Por último, la tercera fórmula, la ley de Coulomb, es muy diferente de las demás: combina todas las cantidades F, r, q1 y q2. Así que derivar la ley de Coulomb de las dos primeras es mucho más valioso que derivar la cuarta fórmula q1.q2 ∝ 1/r2, sólo porque esa fórmula no contiene F. (Y F es una cantidad física que realmente importa. Uno puede preferir otra cantidad, como la intensidad de campo o la energía potencial, sobre la fuerza. Pero uno no puede hacerla desaparecer).
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