Interpretación de los "teoremas fundamentales" del análisis funcional en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Question

Mi impresión es que muchas nociones del análisis funcional están relacionadas con las ecuaciones diferenciales ordinarias.

¿Existen situaciones o problemas en la teoría de las ecuaciones diferenciales que sean en algún sentido "el ejemplo" o tengan alguna conexión histórica con los "teoremas fundamentales" del análisis funcional?

Los teoremas que tengo en mente son Mapeo abierto, grafo cerrado, Hahn-Banach, principio de acotación uniforme. Las conexiones o ideas de los modelos de "espacio de estado/fase" estarían bien.

Answer 1

Un ejemplo de ello sería la ecuación del calor $\dot u - \Delta u=0$ . El estudio de esta ecuación en el contexto del análisis funcional necesita, por ejemplo

1. El operador de Laplace como operador no limitado en $L^2$ . En este caso, el teorema del gráfico cerrado podría ser importante.
2. El estudio del semigrupo $e^{-t\Delta}$ generado por el Laplace. En este caso, la teoría espectral podría ser importante.

Answer 2

Ascoli-Arzelà (no está en la lista, pero puede considerarse razonablemente un teorema importante del análisis funcional) puede utilizarse para demostrar la Teorema de Cauchy-Peano .