Cuasi-isomorfismo de infinidad de Rham

Question

Esta pregunta es similar a Hacer cadenas y cochains saber la misma cosa sobre el colector? en el sentido de que ambos tratan con un natural de la "comparación" cuasi-isomorfismo que no conserva la estructura de anillo.

Deje $M$ ser un suave colector. Hay una comparación natural mapa de $Comp$ de las formas diferenciales en $M$ a la suave singular cochains de $M$ (es decir, el lineal dual del espacio vectorial generado por lisa singular simplices). Se define de la siguiente manera: tome un formulario de $\omega$ grado $p$ y establezca $Comp(\omega)$ a ser el cochain $\sigma\mapsto \int_\triangle \sigma^*\omega$ donde $\triangle$ es el estándar $p$-dimensiones simplex y $\sigma:\triangle\to M$ es un buen singular simplex.

$Comp$ es un mapa de los complejos (Stokes teorema) y por otra parte, un cuasi-isomorfismo (el teorema de de Rham). Pero como simples ejemplos muestran, no conserva la estructura de anillo. Sin embargo, es natural preguntarse si el anillo de estructuras, hasta cuasi-isomorfismo, de las formas diferenciales y de la cochains contienen la misma información acerca de la $M$. Esto se traduce en las siguientes preguntas.

1. Puede $Comp$ ser completado a un morfismos de $A_\infty$-álgebras?

2. Si la respuesta a 1. es positivo (es de suponer), ¿qué acerca de la $E_\infty$ caso?

Estas preguntas también han naturales racional versiones. Es decir, podemos tomar un arbitrario poliedro $X$ en lugar de $M$ y considerar Sullivan $\mathbf{Q}$-polinomio formas. Hay una comparación cuasi-isomorfismo similar a la de arriba que va de la $\mathbf{Q}$-polinomio formas de $X$ para el modelo lineal por tramos $\mathbf{Q}$-cochains. Puede ser completado en un mapa de $A_\infty$ o $E_\infty$ álgebras?

Answer 1

Sí.

Aquí es una manera de verlo:

antes de pasar a la dg-álgebras, echemos un vistazo a cosimplicial álgebras y luego aplicar la normalizado cochain (Moore) complejo functor.

Trabajo en una suave (o,1)-topos, modelado por simplicial presheaves en un sitio de suave loci. Allí, tenemos para cada colector $X$

• el singular complejo simplicial $X^{\Delta_{Diff}^\bullet}$ de lisa singular simplices en $X$,

• el infinitesimal singular complejo simplicial $X^{(\Delta^\bullet_{inf})}$ de los infinitesimales singular simplices.

Hay una inyección canónica $X^{(\Delta^\bullet_{inf})} \to X^{\Delta^\bullet_{Diff}}$. Podemos tomar degreewise (internamente, es decir, sin problemas) de las funciones de estos, para obtener el cosimplicial álgebras $[X^{\Delta^\bullet_{inf}},R]$$[X^{\Delta^\bullet_{Diff}},R]$.

La normalizado cochain complejo de cadenas en $[X^{\Delta^\bullet_{Diff}},R]$ es el complejo de suave singular cochains.

La normalizado cochain complejo de cadenas en $[X^{\Delta^\bullet_{inf}},R]$ resulta ser, por algunas proposiciones por Anders Kock, para ser el deRham álgebra, como se discutió un poco en formas diferenciales en el sintético de la geometría diferencial.

Por lo tanto, en virtud de lo ordinario Dold-Kan correspondencia tenemos un canónica de morfismos

$$N^\bullet([X^{\Delta^\bullet_{Diff}},R] \[X^{\Delta^\bullet_{inf}},R]) = C^\bullet_{suave}(X) \a \Omega_{dR}^\bullet(X)$$

que es una equivalencia de cochain complejos. Pero no es un refinamiento de la Dold-Kan correspondencia de la monoidal Dold-Kan correspondencia. Y esta dice que este functor es también una débil equivalencia de oo-monoid objetos.

Answer 2

Este teorema fue demostrado en 1977 en "K. V. A. M. Gugenheim, en Chen iterado integrales, Illinois J. matemáticas. Volumen 21, número 3 (1977), 703-715. "