La transformación de Schrieffer-Wolff independiente del tiempo tiene la forma $H' = e^{S}He^{-S}$ . Veo que la forma dependiente del tiempo es: $H' = e^{S}He^{-S} +i\hbar\frac{\delta}{\delta t}(e^{S})e^{-S}$ . ¿Por qué exactamente la forma dependiente del tiempo tiene este término extra?
Respuestas
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Considere la transformación $$|\psi'\rangle=e^S|\psi\rangle$$ Buscamos el hamiltoniano transformado $H'$ tal que $$H'|\psi'\rangle=i\hbar{d\over dt}|\psi'\rangle \ \Leftrightarrow\ H|\psi\rangle=i\hbar{d\over dt}|\psi\rangle$$ Sustituyendo por la expresión de $|\psi'\rangle$ se obtiene $$\eqalign{ H'e^S|\psi\rangle &=i\hbar{d\over dt}\left(e^S|\psi\rangle\right)\cr &=i\hbar \left({de^S\over dt}+e^S{d\over dt}\right)|\psi\rangle\cr &=\left(i\hbar{de^S\over dt}+e^SH\right)|\psi\rangle\cr }$$ Multiplicando ambos lados de la izquierda por $e^{-S}$ , $$e^{-S}H'e^S|\psi\rangle =\left(i\hbar e^{-S}{dS\over dt}+H\right)|\psi\rangle$$ para cualquier $|\psi\rangle$ Así que $$e^{-S}H'e^S=i\hbar e^{-S}{dS\over dt}+H$$ y finalmente $$H'=i\hbar {dS\over dt}e^{-S}+e^SHe^{-S}$$
msolomon
Puntos
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La idea es transferir toda la dependencia del tiempo a la parte de H que contiene el parámetro pequeño. En general, S también dependerá del tiempo.
Creo que el origen de este término se remonta al principio de mínima acción y a las transformaciones canónicas. Ya no se puede suponer que las ecuaciones de Hamilton no se modifican cuando la función generadora de la transformación canónica depende del tiempo. Si consideras una transformación canónica general para H dependiente del tiempo, puedes ver que no puedes simplemente expresar H en términos de nuevas variables, sino que hay un término aditivo que es la derivada del tiempo de la función generadora de esta transformación.
