Expresión de forma cerrada para $\sum_{k=0}^m{ n+2k \choose 1+2k}$

Question

¿Podemos obtener una expresión de forma cerrada para

$f(m,n) = \sum_{k=0}^m{ n+2k \choose 1+2k}$ ,

para $m\ge 0, n>1$ ? Estoy interesado en esta expresión, ya que apareció en uno de los problemas que estaba resolviendo. He intentado ver si la secuencia tiene algún patrón, pero no he podido hacerme una idea.

Answer 1

Desde $$\sum_{j=0}^{v}\binom{n+j}{j+1}=-1+\binom{n+1+v}{n}$$ que tenemos: $$\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^{m}\binom{n+2k}{1+2k}&=&\sum_{j=0}^{2m}\binom{n+j}{1+j}-\sum_{j=0}^{2m-1}\binom{n+j}{1+j}+\sum_{j=0}^{2m-2}\binom{n+j}{1+j}-\ldots\\&=&\sum_{h=0}^{2m}(-1)^h\left(-1+\binom{n+1+2m-h}{n}\right)\\&=&-1+\sum_{h=0}^{2m}\binom{n+1+2m-h}{n}(-1)^h\tag{1}\end{eqnarray*}$$ por lo que su suma es un coeficiente binomial por una función hipergeométrica de convergencia rápida: $$\sum_{k=0}^{m}\binom{n+2k}{1+2k}=\binom{n+1+2m}{n}\phantom{}_2 F_1\left(1,-1-2m;-1-2m-n;-1\right)\tag{2}$$ donde el segundo factor del lado derecho puede calcularse mediante la fracción continua de Gauss, a pesar de no tener una forma cerrada "bonita".