Cantidad de productos cruzados para vectores en $\mathbb{R}^n$

Question

Tengo la cantidad: \begin{equation} I= \sum_{i>j=1}^n \left( a_i b_j -a_j b_i \right)^2, \end{equation} donde $a_i, b_i$ son números reales.

En el caso de $n=3$ puedo interpretarlo como la magnitud del vector resultante del producto cruzado de los dos vectores en $\mathbb{R}^3$ : $A=(a_1,a_2,a_3)$ y $B=(b_1,b_2,b_3)$ que, geométricamente, está relacionada con el área del paralelogramo que abarcan estos dos vectores.

Mi pregunta es la siguiente: ¿cuándo $n>3$ ¿existe alguna interpretación geométrica de lo que define esta cantidad (si es que existe) en $\mathbb{R}^n$ y más concretamente para los vectores definidos por $A=(a_1,\ldots,a_n)$ y $B=(b_1,\ldots,b_n)$ por analogía con el $n=3$ ¿caso?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Lagrange.27s_identity :

$$ \sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 = \left\| \mathbf a \right\| ^2 \left\| \mathbf b \right\| ^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2 $$

En el $n = 3$ si esto coincide con $\|a \times b\|^2$ como se indica en la misma página, y también lo hace para $n = 7$ por https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_identity#Seven_dimensions .

Answer 2

$$\sum_{i < j} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 = \|\mathbf a\wedge \mathbf b\|^2$$

que no es más que el cuadrado del área del paralelogramo de lados $\mathbf a$ y $\mathbf b$ . Eso es bastante geométrico, creo. ;)

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Si $\{\mathbf e_1, \cdots, \mathbf e_n\}$ es una base ortonormal de $V$ , entonces se demuestra fácilmente a partir de la propiedades del producto cuña que $\mathbf a\wedge \mathbf b \in \Lambda V$ viene dada por $$\mathbf a\wedge \mathbf b = \sum_{i \lt j} (a_ib_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j$$

Entonces definir la norma de esto por $$\|\mathbf a \wedge \mathbf b\|^2 = \sum_{i < j} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2$$