Momentos de imagen invariantes de la escala: ¿no son variantes de la escala?

Question

Me encontré con un problema al trabajar con momentos de imagen [1]. Se dice que

$\eta_{ij} = \frac{\mu_{ji}}{\mu_{00}^{k}}$

donde $k = 1 + \frac{i+j}{2}$

es invariante de la escala.

Sin embargo, si intento reproducirlo, no aparece invariante de escala en absoluto.

Considere un ejemplo sencillo:

En una imagen binaria, calculamos $\eta_{20}$ de un bloque 2x2 de 4 píxeles:

$\mu_{20} = 0.5^2 + 0.5^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2 = 4 \cdot 0.25 = 1$

$\mu_{00} = 4$

$k = 1 + \frac{2+0}{2} = 1+1 = 2$

$\eta_{20} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0.0625$

Ahora, escalemos este bloque por el factor dos:

$\mu_{20} = 4 \cdot 1.5^2 + 4 \cdot 0.5^2 + 4 \cdot (-0.5)^2 + 4 \cdot (-1.5)^2 = 8 \cdot 2.25 + 8 \cdot 0.25 = 18 + 2 = 20$

$\mu_{00} = 16$

$k = 1 + \frac{2+0}{2} = 1+1 = 2$

$\eta_{20} = \frac{20}{16^2} = \frac{20}{256} = 0.078125$

¿Por qué tenemos un resultado diferente después de escalar el objeto si $\eta_{ij}$ ¿es supuestamente invariante de escala? ¿Existe alguna prueba formal de la invariancia de escala de $\eta$ ?

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Image_moment

Answer 1

La invarianza es exacta en el dominio continuo. Su problema aquí es la forma de escalar, que está limitada por la malla discreta.

Escalando por un factor 2 de sus 4 cuadrados originales se obtendrían 4 cuadrados, centrados en (-1,-1), (-1,1), (1,-1) y (1,1), cada uno con un peso de 4:

$$ \mu_{20} = 4 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1^2 + 4 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1)^2 = 16 $$

$$ \mu_{00} = 4 \cdot 4 = 16 $$

$$ \eta_{20} = \frac{16}{16^2} = 0.0625 $$

En la malla discreta, las invariancias son aproximadas.