demostrar que la adición de dos funciones simples en una medida es simple

Question

Demuestre que dos funciones $\varphi$ y $\psi$ son funciones simples sobre una medida $(X,\mathcal{A})$ es una función simple si

para $\varphi$ , $\exists A_1,\dots ,A_n \in \mathcal{A}$ , $\exists c_1, \dots,c_n$ donde $$\varphi (x)= \sum^{n}_{i=1} c_i \mathcal{X_{A_i}}(x) $$

de manera similar para $\varphi$ , $\exists B_1,\dots , B_n \in \mathcal{A}, \exists d_1, \dots ,d_n$

$$\psi(x)= \sum_{i=1}^n d_i \mathcal{X_{B_i}} (x) $$

por lo que sumando las dos funciones

$$\begin{aligned} \varphi(x)+\psi(x) &= \sum^{n}_{i=1} c_i \mathcal{X_{A_i}}(x) +\sum_{i=1}^n d_i \mathcal{X_{B_i}} (x) \\ &= \dots (\text{steps missing} ) \\ &= \sum^{n}_{i=1} d_i \mathcal{X_{c_i}} (x) \end{aligned} $$

donde $C_1,\dots ,C_n \in \mathcal{A}$

No estoy seguro de cuáles son los conjuntos $C$ y las constantes

Answer 1

Tenga en cuenta que el $n$ (número de "pasos") puede ser diferente para $\varphi$ , $\psi$ y $\varphi+\psi$ . Sea $\varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i \chi_{A_i}$ y $\psi = \sum_{j=1}^{m} d_i \chi_{B_j}$ . Consideraremos un conjunto adicional $A_{n+1}=X \setminus \bigcup_{i=1}^n A_i$ y $B_{m+1} = X \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j$ así como las constantes $c_{n+1}=0$ y $d_{m+1}=0$ para que podamos escribir $\varphi = \sum_{i=1}^{n+1} c_i \chi_{A_i}$ y $\psi = \sum_{j=1}^{m+1} d_i \chi_{B_j}$ (básicamente, añadimos un cero a ambas funciones). La razón por la que hacemos esto es para que el $A_i$ cubrir todo el espacio $X$ y también el $B_j$ cubrir todo el espacio. [Muchas gracias a GNU Supporter por detectar mi atroz error].

Una forma es dejar que el $C$ son todas las intersecciones posibles de la forma $C_{ij}=A_i \cap B_j$ . Tenga en cuenta que el $C_{ij}$ cubren todo $X$ . Entonces para $x \in A_i \cap B_j$ tienes $\varphi(x)+\psi(x)=c_i+d_j$ . Así que el resultado final es algo así como $\sum_i \sum_j (c_i+d_j) \chi_{C_{ij}}$ .