En un hipotético ordenador con una longitud de palabra de tres dígitos y truncamiento, calcule la solución de
$$ \begin{matrix} -3x & + & y & = & -2 \\ 10x & - & 3y & = & 7 \\ \end{matrix} $$
a. Sin pivote parcial
b. Con pivote parcial
c. Exactamente
Consideramos la matriz $$ \begin{bmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 10 & -3 & 7 \\ \end{bmatrix} $$
y la operación $R_2 R_2 – (\frac{a_{kj}}{a_{ij}})R_1:$ donde $R_i$ son filas y $k > i, a_{ij} \neq 0.$ Entonces la nueva matriz tiene el siguiente aspecto
$$ \begin{bmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 10 – (-\frac {10}{3})(-3) & -3 & 7 - (-\frac73)(-2) \\ \end{bmatrix} $$
Tendremos que truncar $\frac {10}{3} = 3.3333333333333335$ à $3.333 = 0.333 \times 10^1$ . Del mismo modo, $\frac 73 = 0. 233 \times 10^1$ , por lo que esta matriz es
$$ \begin{bmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 10 – (-0.333 \times 10^1)(-3) & -3 & 7 - (-0. 233 \times 10^1)(-2) \\ \end{bmatrix} $$
que es
$$ \begin{bmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 0.01 & -3 & 2.34 \\ \end{bmatrix} $$
Debido al truncamiento $0$ se convierte en $0.01$ , de modo que si resolvemos $0.01x - 3y = 2.34$ para $(x, y)$ obtenemos una solución final distorsionada.
Ahora consideremos el pivoteo parcial que requiere el intercambio de filas. Entonces nuestra matriz es
$$ \begin{bmatrix} 10 & -3 & 7 \\ -3 & 1 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
Aplicación de la operación de fila $R_2 R_2 – (\frac{a_{kj}}{a_{ij}})R_1$ rinde
$$ \begin{bmatrix} 10 & -3 & 7 \\ -3 - (-\frac {3}{10})10 & 1 – (\frac {1}{10})(-3) & -2 - (-\frac{1}{5})7\\ \end{bmatrix} $$
No tenemos que truncar $\frac {3}{10}, \frac {1}{10}, \frac{1}{5}$ porque son $0.3, 0.1, 0.2$ respectivamente. Así, la matriz es
$$ \begin{bmatrix} 10 & -3 & 7 \\ 0 & 1.3 & -0.6\\ \end{bmatrix} $$
Entonces $y = \frac {-0.6}{1.3} = -0.4615384615384615$ . Como no perdemos ningún dígito por el truncamiento, este $y$ también es exacta.
¿Tiene sentido?
