Una propiedad de la descomposición polar de un operador

Question

Supongamos que $T$ sea un operador en el espacio de Hilbert $H$ . Por el teorema de descomposición polar del análisis funcional tenemos:

Dejemos que $T$ sea un operador en el espacio de Hilbert $H$ . Entonces existe una isometría parcial $U$ tal que $T=U|T|$ , donde $|T|={(T^*T)}^\frac{1}{2}$ y $N(U) = N(|T|)$ y $U^* U|T|=|T|$ .

Obsérvese que con la condición $N(U) = N(|T|)$ podemos demostrar que dicha decosición polar es única.

Ahora quiero demostrar que si $T^2 =I$ entonces $U^2 =I$ .

Answer 1

Desde $T^2=I$ , usted tiene $T^{-1}=T$ . Desde $T=U|T|$ obtenemos $U=T|T|^{-1}$ . Entonces $$ |T|^{-1}=(T^*T)^{-1/2}=[(T^*T)^{-1}]^{1/2}=[T^{-1}{T^{-1}}^*]^{1/2}=(TT^*)^{1/2}. $$ Ahora el hecho clave es que $T(T^*T)^n=(TT^*)^nT$ y como la raíz cuadrada es un límite de polinomios sin término constante, $$ T(T^*T)^{1/2}=(TT^*)^{1/2}T. $$ Así, $$ |T|^{-1}T=(TT^*)^{1/2}T=T(T^*T)^{1/2}=T|T|. $$ Así, $$ U^2=T|T|^{-1}T|T|^{-1}=TT|T||T|^{-1}=I. $$