Las funciones generadoras son tus amigas. Voy a mostrar cómo obtener su función generadora de la recurrencia.
He cambiado un poco tu anotación.
Usted tiene n(t)=an(t−1)−n(t−m) , o n(t+m)=an(t+m−1)−n(t) .
Dejemos que f(x)=∑∞t=0n(t)xt .
xmf(x)=∑∞t=0n(t)xt+m=∑∞t=mn(t−m)xt y xf(x)=∑∞t=0n(t)xt+1=∑∞t=1n(t−1)xt , así que
f(x)−axf(x)+xmf(x)=∞∑t=0n(t)xt−a∞∑t=1n(t−1)xt+∞∑t=mn(t−m)xt=m−1∑t=0n(t)xt−am−1∑t=1n(t−1)xt+∞∑t=m(n(t)−an(t−1)+n(t−m))xt=m−1∑t=0n(t)xt−am−1∑t=1n(t−1)xt=g(t)
donde g(t)=∑m−1nt0n(t)xt−a∑m−1t=1n(t−1)xt=n(0)+∑m−1t=1(n(t)−an(t−1))xt es un polinomio de grado m−1 que incorpora la condiciones iniciales del n(i) .
Por lo tanto, f(x)=g(x)h(x) donde h(x)=1−ax+xm .
Las propiedades del n(i) dependen, por tanto, de las condiciones iniciales (incorporadas en g(x) ) y las raíces de h(x) . En particular, si h(x) no tiene raíces reales, el n(i) oscilará. Si h(x) tiene raíces reales positivas, el n(i) crecerá (a menos que haya condiciones iniciales especiales) como c/ri , donde r es la raíz de h de menor valor.
Ahora trataré de determinar lo que puedo sobre las raíces de h .
Asumiré que a>0 .
h(0)=1 .
Desde h′(x)=−a+mxm−1 , h′(x)=0 para x=x0=(a/m)1/(m−1) , así que h′(x)<0 para 0≤x<x0 y h′(x)>0 para x>x0 . Por lo tanto, h tiene un mínimo en x0 .
Para ver si h tiene una raíz real, tenemos que ver si h(x0)<0 . Si no es así, h no tiene ninguna raíz real.
h(x0)=1−ax0+xm0=1−x0(a−xm−10)=1−x0(a−a/m)=1−(a/m)1/(m−1)a(1−1/m)=1−(a/m)1+1/(m−1)(m−1)=1−(a/m)m/(m−1)(m−1) .
Por lo tanto, h(x0)<0 si (a/m)m/(m−1)(m−1)>1 o a>m/(m−1)(m−1)/m .
Por lo tanto, para cualquier m , si a es lo suficientemente grande, el n(i) crecerá exponencialmente.
Tenga en cuenta que si a=m/(m−1)(m−1)/m , h tiene una raíz doble en x0 , y el n(i) crecerán de forma diferente.
Llevaré esto un poco más lejos y lo dejaré así.
Veamos lo que ocurre con los de tamaño moderado m .
m/(m−1)(m−1)/m=mm−1(m−1)1/m .
(m−1)1/m=eln(m−1)/m≈1+ln(m−1)/m y mm−1=11−1/m≈1+1/m , así que m/(m−1)(m−1)/m≈(1+ln(m−1)/m)(1+1/m)≈1+(1+ln(m−1))/m .
Por lo tanto, a no tiene que ser demasiado grande para h para tener verdaderas raíces.
Es suficiente por ahora.