Solución general de una ecuación de crecimiento

Question

Me gustaría calcular una fórmula que describa el crecimiento de una población. La población comienza con $N(t=0)$ individuos. En cada paso de tiempo hay nacimientos y muertes. El número de nacimientos en el momento $t$ viene dada por $N(t-1)f$ , donde $f$ siendo la fecundidad. El número de muertes viene dado por $N(t-ls)$ , donde $ls$ siendo la duración de la vida. Por lo tanto la ecuación recursiva es: $$N(t)=N(t-1)+N(t-1) f-N(t-ls)$$ que también es igual: $$N(t)=N(t-1) (f+1)-N(t-ls)$$ ¿Cuál es la solución general? Me refiero a una ecuación que da el valor $N(t)$ en función de $ls$ , $f$ y $N(0)$ sólo.

La solución paso a paso es más que bienvenida.

ACTUALIZACIÓN:

$ls$ y $t$ son números enteros.

Answer 1

En principio, se trata de una simple ecuación en diferencia de coeficiente constante. El problema es que $ls$ puede ser cualquier número entero positivo, y esto hace que la ecuación sea difícil de resolver específicamente. A saber, supongamos que la solución $N(t) = A r^t$ , donde $A$ es una constante y $r$ una tasa de crecimiento. Entonces podemos encontrar $r$ :

$$r^t-(f+1) r^{t-1} +r^{t-ls}=0$$

o

$$r^{ls}-(f+1) r^{ls-1}+1=0$$

En general, esta ecuación puede resolverse numéricamente para $r$ y produce $ls$ valores distintos de $r$ es decir, $r_1, r_2, \ldots r_{ls}$ . Entonces la solución es

$$N(t) = \sum_{k=1}^{ls} A_k r_k^t$$

donde el $A_k$ se encuentran, por ejemplo, en las condiciones iniciales.

Answer 2

Como su ecuación es una relación de recurrencia de orden $ls$ (a menos que $ls=0$ En este caso, es de orden $0$ pero voy a suponer que no es el caso), la solución general va a tener $ls$ constantes arbitrarias (incluyendo $N_0$ pero sin incluir $f$ ). Dudo que puedas conseguir una solución "bonita" y explícita, pero lo que puede te consigue es una "bonita" función generadora ordinaria.

Para facilitar la notación, escribiré $n$ en lugar de $t$ , $N_n$ en lugar de $N(t)$ , $r$ en lugar de $f+1$ y $a$ en lugar de $ls$ . Entonces la relación de recurrencia es $$N_n-rN_{n-1}-N_{n-a}=0.$$ Definir $F(x):=\sum_{n=0}^\infty N_nx^n$ para ser nuestra función generadora ordinaria para $N_n$ . Multiplicando todo en la ecuación anterior por $x^n$ y la suma de $n=a$ a $\infty$ obtenemos $$\begin{aligned} 0 &=\sum_{n=a}^\infty N_nx^n - r\sum_{n=a}^\infty N_{n-1}x^n + \sum_{n=a}^\infty N_{n-a}x^n\\ &= F(x)-(N_0+N_1x+\cdots + N_{a-1}x^{a-1})\\ &\quad{}-rx(F(x)-(N_0+N_1x+\cdots + N_{a-1}x^{a-2}))\\ &\quad{}+x^aF(x)\\ &= (1-rx+x^a)F(x) -(N_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{a-1}x^{a-1}), \end{aligned}$$ donde $c_1,\cdots,c_{a-1}$ son constantes arbitrarias. Entonces $$F(x)=\frac{N_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{a-1}x^{a-1}}{1-rx+x^a}.$$

Volviendo a la notación original, obtenemos $$\sum_{t=0}^\infty N(t)\,x^t = \frac{N(0)+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_{ls-1}x^{ls-1}}{1-(f+1)x+x^{ls}}.$$

Answer 3

Las funciones generadoras son tus amigas. Voy a mostrar cómo obtener su función generadora de la recurrencia.

He cambiado un poco tu anotación.

Usted tiene $n(t) = a n(t-1)-n(t-m)$ , o $n(t+m) = a n(t+m-1)-n(t)$ .

Dejemos que $f(x) =\sum_{t=0}^\infty n(t) x^t$ .

$x^m f(x) =\sum_{t=0}^\infty n(t) x^{t+m} =\sum_{t=m}^\infty n(t-m) x^{t}$ y $x f(x) =\sum_{t=0}^\infty n(t) x^{t+1} =\sum_{t=1}^\infty n(t-1) x^{t}$ , así que

$\begin{align} f(x)-ax f(x)+x^m f(x) &=\sum_{t=0}^\infty n(t) x^t -a\sum_{t=1}^\infty n(t-1) x^{t} +\sum_{t=m}^\infty n(t-m) x^{t}\\ &=\sum_{t=0}^{m-1} n(t) x^t -a\sum_{t=1}^{m-1} n(t-1) x^{t} +\sum_{t=m}^\infty (n(t)-an(t-1)+n(t-m)) x^{t}\\ &=\sum_{t=0}^{m-1} n(t) x^t -a\sum_{t=1}^{m-1} n(t-1) x^{t}\\ &= g(t)\\ \end{align}$

donde $g(t) =\sum_{nt0}^{m-1} n(t) x^t-a\sum_{t=1}^{m-1} n(t-1) x^{t} =n(0)+\sum_{t=1}^{m-1} (n(t)-an(t-1)) x^t$ es un polinomio de grado $m-1$ que incorpora la condiciones iniciales del $n(i)$ .

Por lo tanto, $f(x) =\dfrac{g(x)}{h(x)}$ donde $h(x) = 1-ax+x^m$ .

Las propiedades del $n(i)$ dependen, por tanto, de las condiciones iniciales (incorporadas en $g(x)$ ) y las raíces de $h(x)$ . En particular, si $h(x)$ no tiene raíces reales, el $n(i)$ oscilará. Si $h(x)$ tiene raíces reales positivas, el $n(i)$ crecerá (a menos que haya condiciones iniciales especiales) como $c/r^i$ , donde $r$ es la raíz de $h$ de menor valor.

Ahora trataré de determinar lo que puedo sobre las raíces de $h$ .

Asumiré que $a > 0$ .

$h(0) = 1$ .

Desde $h'(x) =-a+mx^{m-1}$ , $h'(x)=0$ para $x=x_0 =(a/m)^{1/(m-1)}$ , así que $h'(x) < 0$ para $0 \le x < x_0$ y $h'(x) > 0$ para $x > x_0$ . Por lo tanto, $h$ tiene un mínimo en $x_0$ .

Para ver si $h$ tiene una raíz real, tenemos que ver si $h(x_0) < 0$ . Si no es así, $h$ no tiene ninguna raíz real.

$\begin{align} h(x_0) &=1-ax_0+x_0^m\\ &=1-x_0(a-x_0^{m-1})\\ &=1-x_0(a-a/m)\\ &=1-(a/m)^{1/(m-1)}a(1-1/m)\\ &=1-(a/m)^{1+1/(m-1)}(m-1)\\ &=1-(a/m)^{m/(m-1)}(m-1)\\ \end{align}$ .

Por lo tanto, $h(x_0) < 0$ si $(a/m)^{m/(m-1)}(m-1) > 1$ o $a > m/(m-1)^{(m-1)/m}$ .

Por lo tanto, para cualquier $m$ , si $a$ es lo suficientemente grande, el $n(i)$ crecerá exponencialmente.

Tenga en cuenta que si $a = m/(m-1)^{(m-1)/m}$ , $h$ tiene una raíz doble en $x_0$ , y el $n(i)$ crecerán de forma diferente.

Llevaré esto un poco más lejos y lo dejaré así.

Veamos lo que ocurre con los de tamaño moderado $m$ .

$m/(m-1)^{(m-1)/m} =\dfrac{m}{m-1}(m-1)^{1/m}$ .

$(m-1)^{1/m} =e^{\ln(m-1)/m} \approx 1+\ln(m-1)/m$ y $\dfrac{m}{m-1} =\dfrac{1}{1-1/m} \approx 1+1/m$ , así que $m/(m-1)^{(m-1)/m} \approx (1+\ln(m-1)/m)(1+1/m) \approx 1+(1+\ln(m-1))/m$ .

Por lo tanto, $a$ no tiene que ser demasiado grande para $h$ para tener verdaderas raíces.

Es suficiente por ahora.