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Solución general de una ecuación de crecimiento

Me gustaría calcular una fórmula que describa el crecimiento de una población. La población comienza con N(t=0) individuos. En cada paso de tiempo hay nacimientos y muertes. El número de nacimientos en el momento t viene dada por N(t1)f , donde f siendo la fecundidad. El número de muertes viene dado por N(tls) , donde ls siendo la duración de la vida. Por lo tanto la ecuación recursiva es: N(t)=N(t1)+N(t1)fN(tls) que también es igual: N(t)=N(t1)(f+1)N(tls) ¿Cuál es la solución general? Me refiero a una ecuación que da el valor N(t) en función de ls , f y N(0) sólo.

La solución paso a paso es más que bienvenida.

ACTUALIZACIÓN:

ls y t son números enteros.

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Ron Gordon Puntos 96158

En principio, se trata de una simple ecuación en diferencia de coeficiente constante. El problema es que ls puede ser cualquier número entero positivo, y esto hace que la ecuación sea difícil de resolver específicamente. A saber, supongamos que la solución N(t)=Art , donde A es una constante y r una tasa de crecimiento. Entonces podemos encontrar r :

rt(f+1)rt1+rtls=0

o

rls(f+1)rls1+1=0

En general, esta ecuación puede resolverse numéricamente para r y produce ls valores distintos de r es decir, r1,r2,rls . Entonces la solución es

N(t)=lsk=1Akrtk

donde el Ak se encuentran, por ejemplo, en las condiciones iniciales.

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Spatial Pariah Puntos 332

Como su ecuación es una relación de recurrencia de orden ls (a menos que ls=0 En este caso, es de orden 0 pero voy a suponer que no es el caso), la solución general va a tener ls constantes arbitrarias (incluyendo N0 pero sin incluir f ). Dudo que puedas conseguir una solución "bonita" y explícita, pero lo que puede te consigue es una "bonita" función generadora ordinaria.

Para facilitar la notación, escribiré n en lugar de t , Nn en lugar de N(t) , r en lugar de f+1 y a en lugar de ls . Entonces la relación de recurrencia es NnrNn1Nna=0. Definir F(x):=n=0Nnxn para ser nuestra función generadora ordinaria para Nn . Multiplicando todo en la ecuación anterior por xn y la suma de n=a a obtenemos 0=n=aNnxnrn=aNn1xn+n=aNnaxn=F(x)(N0+N1x++Na1xa1)rx(F(x)(N0+N1x++Na1xa2))+xaF(x)=(1rx+xa)F(x)(N0+c1x+c2x2++ca1xa1), donde c1,,ca1 son constantes arbitrarias. Entonces F(x)=N0+c1x+c2x2++ca1xa11rx+xa.

Volviendo a la notación original, obtenemos t=0N(t)xt=N(0)+c1x+c2x2++cls1xls11(f+1)x+xls.

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marty cohen Puntos 33863

Las funciones generadoras son tus amigas. Voy a mostrar cómo obtener su función generadora de la recurrencia.

He cambiado un poco tu anotación.

Usted tiene n(t)=an(t1)n(tm) , o n(t+m)=an(t+m1)n(t) .

Dejemos que f(x)=t=0n(t)xt .

xmf(x)=t=0n(t)xt+m=t=mn(tm)xt y xf(x)=t=0n(t)xt+1=t=1n(t1)xt , así que

f(x)axf(x)+xmf(x)=t=0n(t)xtat=1n(t1)xt+t=mn(tm)xt=m1t=0n(t)xtam1t=1n(t1)xt+t=m(n(t)an(t1)+n(tm))xt=m1t=0n(t)xtam1t=1n(t1)xt=g(t)

donde g(t)=m1nt0n(t)xtam1t=1n(t1)xt=n(0)+m1t=1(n(t)an(t1))xt es un polinomio de grado m1 que incorpora la condiciones iniciales del n(i) .

Por lo tanto, f(x)=g(x)h(x) donde h(x)=1ax+xm .

Las propiedades del n(i) dependen, por tanto, de las condiciones iniciales (incorporadas en g(x) ) y las raíces de h(x) . En particular, si h(x) no tiene raíces reales, el n(i) oscilará. Si h(x) tiene raíces reales positivas, el n(i) crecerá (a menos que haya condiciones iniciales especiales) como c/ri , donde r es la raíz de h de menor valor.

Ahora trataré de determinar lo que puedo sobre las raíces de h .

Asumiré que a>0 .

h(0)=1 .

Desde h(x)=a+mxm1 , h(x)=0 para x=x0=(a/m)1/(m1) , así que h(x)<0 para 0x<x0 y h(x)>0 para x>x0 . Por lo tanto, h tiene un mínimo en x0 .

Para ver si h tiene una raíz real, tenemos que ver si h(x0)<0 . Si no es así, h no tiene ninguna raíz real.

h(x0)=1ax0+xm0=1x0(axm10)=1x0(aa/m)=1(a/m)1/(m1)a(11/m)=1(a/m)1+1/(m1)(m1)=1(a/m)m/(m1)(m1) .

Por lo tanto, h(x0)<0 si (a/m)m/(m1)(m1)>1 o a>m/(m1)(m1)/m .

Por lo tanto, para cualquier m , si a es lo suficientemente grande, el n(i) crecerá exponencialmente.

Tenga en cuenta que si a=m/(m1)(m1)/m , h tiene una raíz doble en x0 , y el n(i) crecerán de forma diferente.

Llevaré esto un poco más lejos y lo dejaré así.

Veamos lo que ocurre con los de tamaño moderado m .

m/(m1)(m1)/m=mm1(m1)1/m .

(m1)1/m=eln(m1)/m1+ln(m1)/m y mm1=111/m1+1/m , así que m/(m1)(m1)/m(1+ln(m1)/m)(1+1/m)1+(1+ln(m1))/m .

Por lo tanto, a no tiene que ser demasiado grande para h para tener verdaderas raíces.

Es suficiente por ahora.

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