Aplicación del teorema integral de Cauchy a $\int_{C_R} z^n \ dz$

Question

Primero, Teorema integral de Cauchy :

Si $f$ es una función continua en $U$ admitiendo una primitiva holomorfa $g$ y $\gamma$ es un camino cerrado en $U$ entonces \begin{equation} \int_\gamma f = 0 \end{equation}

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Al aplicar este teorema a $z^n$ sobre algún círculo $C_R$ de radio $R$ tenemos \begin{equation} \int_{C_R} z^n dz = \cases{0, & $n \ne -1$ \\ 2\pi i, & $n=-1$} \end{equation} (Nótese que se nos permite aplicar el Teorema Integral de Cauchy a $f(z)=z^n$ ya que una primitiva $g$ , a saber $g(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}$ existe).

Mi pregunta es, ¿por qué no es $\int_{C_R} z^n \ dz$ ¿Idéntico cero? ¿Por qué no se cumple el Teorema de Cauchy para el caso $n=-1$ ?

Gracias.

Answer 1

Parametrizar $C_R$ por $z=R e^{i \phi}$ pour $\phi \in [0, 2 \pi)$ . Entonces

$$\oint_{C_R} dz \, z^{-1} = i R \int_0^{2 \pi} d\phi \, e^{i \phi} R^{-1} e^{-i \phi} = i 2 \pi$$

Answer 2

Ahora veo el problema.

Tenga en cuenta que cuando $n=-1$ el primitivo $g(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}$ es indefinido, y por tanto el teorema no se cumple. Ojalá hubiera visto esto más rápido...

Answer 3

En realidad existe una versión homológica del Teorema de Cauchy.

$\textbf{Theorem.}$ Supongamos que $V$ es un subconjunto abierto de $\mathbf{C}$ , $\Gamma$ es una suma formal de curvas cerradas. Supongamos que $\text{Ind}(\Gamma,a)=0$ para todos $a\in \mathbf{C}\backslash V$ . Supongamos que $f\in H(V)$ . Entonces $$ \int_{\Gamma}f(w)dw=0. $$

$\textbf{Remark.}$ Está bien aplicar este teorema para $n\ge 0$ . Cuando $n=-1$ , $f(z)=1/z$ tiene una singularidad en $z=0$ . No podemos aplicar este teorema. Podríamos hacer el cálculo directamente, o aplicar el Teorema del residuo .