¿Es la geometría hiperbólica tarskiana consistente, completa y decidible?

Question

Tarski desarrolló una descripción axiomática de la geometría euclidiana en la lógica de primer orden. Sus nociones primitivas son los puntos y sus relaciones primitivas son la intermedialidad y la congruencia de los puntos. El axioma del Paralelo se enuncia utilizando la intermedialidad.

Lo demostró

1. Consecuente. Es decir, no demuestra tanto una frase como su negación.

2. Completo. Es decir, demuestra que cualquier frase o su negación es verdadera.

3. Decidible. Existe un algoritmo que asigna un valor de verdad a cada frase.

Obviamente, podemos negar el axioma del Paralelo para obtener la geometría hiperbólica tarskiana.

Q. ¿Es esta geometría también consistente, completa y decidible?

Answer 1

La referencia canónica para la geometría elemental al estilo de Tarski es la monografía Schwabhäuser, Szmielew, Tarski [1]. Esta incluye un tratamiento de la geometría hiperbólica en paralelo con la geometría euclidiana; en particular, la consistencia, completitud y decidibilidad de $n$ -geometría hiperbólica para cualquier $n\ge2$ se demuestra en Satz II.3.65.

Referencia:

[1] Wolfram Schwabhäuser, Wanda Szmielew, Alfred Tarski: Métodos metamatemáticos en geometría Springer-Verlag, 1983.