¿Cuál es la diferencia entre la convergencia débil y la fuerte?

Question

¿Cuál es la diferencia entre la convergencia fuerte y la débil?

Estoy leyendo "Introductory functional analysis" de Kreyszig y no aprecio las diferencias entre ambos.

Definición de convergencia fuerte:

Una secuencia $(x_n)$ en un espacio normado $X$ se dice que es fuertemente convergente si existe un $x \in X$ tal que $$\lim_{n \to \infty}||x_n-x||=0$$

Definición de convergencia débil:

Una secuencia $(x_n)$ en un espacio normado $X$ se dice que es débilmente convergente si existe un $x \in X$ tal que $$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(x)$$

No aprecio las diferencias entre ambos, ¿alguien tiene un ejemplo para resaltar las diferencias?

¿En qué se diferencia la demostración de si una secuencia converge débilmente o fuertemente?

Answer 1

Todo se reduce a darse cuenta de que es natural (¡e interesante!) considerar diferentes topologías en el mismo conjunto $X$ cada una de las cuales viene acompañada de una noción de convergencia.

En este escenario tenemos por un lado la topología fuerte, es decir, la topología inducida por la norma sobre $X$ y la llamada topología débil en el otro, es decir, la topología más gruesa para la que cada elemento de $X^*$ es continua.

Lo primero que hay que tener en cuenta es que $\tau_{\text{weak}} \subset \tau_{\text{strong}}$ . De hecho,

fuerte implica débil: si $x_n \to x$ y $f \in X^*$ , entonces por definición de $X^*$ tenemos que $f(x_n) \to f(x)$ . En otras palabras, la convergencia fuerte implica la convergencia débil, débilmente cerrada implica (fuertemente) cerrada, etc.

La otra implicación no es válida, como muestra el siguiente ejemplo:

Débil no implica fuerte: consideremos el espacio de Banach $\ell^p$ , $1<p<\infty$ y que $e_i$ sea la secuencia $(0,\dots,1,0\dots)$ con $1$ en el $i$ -en su posición. Entonces es fácil demostrar que $\{e_i\}$ converge débilmente a $0$ en $\ell^p$ pero no con fuerza.

Aquí puedes encontrar una prueba de que para espacios de dimensión finita las dos topologías coinciden.

Cabe mencionar que no es cierto que las topologías sean diferentes si y sólo si $X$ es de dimensión infinita. Para un contraejemplo, se puede echar un vistazo a esta pregunta ( $\ell^1$ es un espacio extraño) .

Answer 2

Una convergencia débil se define en un producto interno mientras que una convergencia fuerte se define en una norma.

Una convergencia fuerte es también una convergencia débil, pero no al revés.