Añadir un real aleatorio hace que el conjunto de reales del modelo de tierra sea escaso

Question

Esta es una pregunta sobre el forzamiento. He visto el siguiente hecho mencionado en múltiples lugares, pero no he podido encontrar una prueba: si se añade un real aleatorio a un modelo transitivo de ZFC, entonces en la extensión genérica el conjunto de reales en el modelo de tierra se vuelve exiguo.

Mi suposición es que uno debería ser capaz, de alguna manera natural, de construir directamente a partir de un real aleatorio una secuencia contable de conjuntos densos en ninguna parte que cubran los reales del modelo de tierra, pero no estoy seguro.

Answer 1

La prueba se basa en que existe una descomposición ${\bf R}=A\cup B$ de los reales tal que $A$ , $B$ son conjuntos de Borel (muy simples), $A$ es escaso, $B$ es de medida cero, y ${\bf R}=A\cup B$ incluso se mantiene si después de forzar reinterpretamos los conjuntos. Nos dejamos $s$ ser un real al azar. Si $r\in {\bf R}$ es un real antiguo, entonces $s\notin r+B$ Así que $s\in r+A$ Es decir, la escasa $s-A$ contiene todos los reales antiguos.

Answer 2

Joerg Brendle menciona este hecho y lo cita:

K. Kunen, Random y Cohen reales, manual de teoría de conjuntos de la topología (Kunen K. y J. Vaughan, eds.), norte {Holanda, Amsterdam, 1984, pp. 887 {911. Sr. d 86:03049