Convergencia casi segura

Question

El problema (no la tarea) que he practicado es

Considere el espacio de probabilidad $([0,1], B_{[0,1]}, P)$ donde $B_{[0,1]}$ es el conjunto de Borel y $P$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$ . Para cualquier número entero $n>0$ existe $m$ y $k$ tal que $n = 2^m-2+k$ y $0\leq k \leq 2^{m+1.}$ Definir

$$X_n(\omega)=\left\{\begin{array}{clcr} 1, \mbox{} \frac{k}{2^m}\leq \omega\leq\frac{k+1}{2^m}\\0, \mbox{ otherwise} \end{array}\right.$$ para cualquier $\omega\in[0,1]$ . Es la declaración, $X_n \to 0$ a.s., ¿correcto?

Sé que la solución se puede encontrar en la página 36, ejercicio 47, Mathematical Statistics: Ejercicios y Soluciones de Jun Shao. Es decir, $X_n(\omega)$ no converge a $0$ a.s. La razón es la siguiente.

Para cualquier $\omega \in[0,1]$ y m, existe $k$ con $1\leq k\leq 2^m$ tal $\frac{k-1}{2^m}\leq \omega \leq \frac{k}{2^m}$ . Sea $n_m =2^m-2+k$ . Entonces $X_{n_m}(\omega)=1$ . Como m es arbitrario podemos encontrar una secuencia infinita $\{n_m\}$ tal que $X_{n_m}(\omega)=1$ . Esto implica $X_n{\omega}$ no converge a 0. Dado que $\omega$ es arbitraria, $X_n$ no converge a 0 a.s.

Sin embargo, obtuve una respuesta diferente. Mi respuesta es :

Desde $P(|X_n| > \epsilon) \leq \frac{1}{2^m}$ para cualquier $\epsilon >0$ , $\sum_n P(|X_n| > \epsilon) < \infty$ . Por el primer lema de Borel-Cantelli, $P(\{|X_n| > \epsilon\} \mbox{ i.o.}) = 0$ . Desde $\epsilon$ es arbitraria, $X_n \to 0$ a.s.

Si mi respuesta es errónea, tengo curiosidad por saber por qué el 1er lema de Borel Cantelli no funciona o dónde está el error.

Answer 1

Shao tiene razón. Como señala Procrastinator m tiene una forma especial. Así que sólo ha demostrado la convergencia a 0 a lo largo de una subsecuencia particular y no cada subsecuencia.