Cero distribuciones

Question

Una distribución, según la definición de Shearer y Levy, es una función $f \in D'(\mathbb{R})$ con $f: C^{\infty}_c(\mathbb{R})=D(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ s.t.

1. $f$ es lineal
2. $f$ es continua.

Una distribución es nula si $f(\phi)=(f,\phi)=0, \ \ \forall \phi \in D(\mathbb{R})$ . Dado $c \in C^\infty(\mathbb{R})$ y $cf$ se define en la imagen de abajo [naranja], encontrar todos los valores de $f$ para lo cual $c=e^x$ satisface $cf=0$ .

Intento: He intentado utilizar el ejemplo [rosa] que aparece a continuación (también en la imagen) pero no he llegado muy lejos porque no encuentro una función general que se diferencie a $c(x)e^x$ . Pensé que la integración por partes ayudaría pero eso también depende de lo que $c(x)$ es.

Answer 1

Basta con observar que si $\phi \in \mathcal D$ entonces también lo es $e^{-x} \phi$ .

Entonces, por definición, $cf = 0$ implica $f(c \psi)=0$ por cada $\psi \in \mathcal D$ y, en particular, si tomamos cualquier función de prueba $\phi\in \mathcal D$ , $e^{-x} \phi \in \mathcal D$ para que $$ (cf)(e^{-x}\phi) = 0 = f\big(c (e^{-x}\phi)\big) = f(\phi) $$ así que $f(\phi)=0$ para todos $\phi \in \mathcal D$ . Por lo tanto, $f = 0$ .