Encontrar la cardinalidad/las combinaciones posibles de conjuntos

Question

Problemas:

Dejemos que $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

(a) ¿Cuántos subconjuntos hay de cardinalidad $4$ ? ( $15$ )

(b) ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $4$ tienen $\{2, 3, 5\}$ como subconjunto? ( $\binom{3}{1} = 3$ Pero, ¿por qué? $\binom{3}{1}$ ?)

(c) ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $4$ contienen al menos un número impar? ( $\binom{6}{4} = 15$ pero ¿por qué cada subconjunto contiene al menos un impar?)

(d) ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $4$ contienen exactamente un número par? ( $\binom{3}{1}$ Pero, ¿por qué esto también es $3$ ?)

No tenía ni idea de cómo plantear el tema ya que no entiendo muy bien qué es esto. Estoy teniendo dificultades con las matemáticas discretas. Entiendo cómo obtener la respuesta a (a) utilizando el triángulo de pascal, pero no entiendo cómo ir sobre las otras preguntas. Estoy perdido ahora mismo, y tengo un examen rápidamente. Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Cuántos subconjuntos tienen cardinalidad $4$ ?

Dado que el conjunto $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ tiene seis elementos, un subconjunto de cuatro elementos que contiene el subconjunto de tres elementos $\{2, 3, 5\}$ debe contener un elemento del subconjunto $\{1, 4, 6\}$ . Hay $$\binom{3}{1} = 3$$ formas de elegir uno de esos tres elementos. Tal y como ha indicado TMM en los comentarios, los tres subconjuntos resultantes son $$\{1, 2, 3, 5\}, \{2, 3, 4, 5\}, \{2, 3, 5, 6\}$$

¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $4$ contienen al menos un número impar?

Dado que el conjunto $S$ contiene tres números Impares y tres números pares, puede haber como máximo tres números pares en un subconjunto de tamaño $4$ . Por lo tanto, al menos un elemento de cualquier subconjunto de cuatro elementos de $S$ debe ser impar. Dado que hay $$\binom{6}{4} = 15$$ subconjuntos de cuatro elementos de $S$ Hay $15$ subconjuntos de cardinalidad $4$ que contienen al menos un número impar.

¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $4$ contienen exactamente un número par?

Si un subconjunto de cardinalidad $4$ contiene exactamente un número par, entonces debe contener los tres números Impares y uno de los tres números pares del conjunto $S$ . Hay $$\binom{3}{1} = 3$$ formas de elegir uno de los tres números pares del conjunto $S$ para ser el único número par en el subconjunto de cardinalidad $4$ . Los tres subconjuntos que contienen exactamente un número par son $$\{1, 2, 3, 5\}, \{1, 3, 4, 5\}, \{1, 3, 5, 6\}$$