Un multidimensional problema de Frobenius

Question

Inspirado por a esta pregunta.

Deje $A$ ser un subconjunto de a ${\mathbb Z}^d$ que genera el conjunto de aditivos de grupo ${\mathbb Z}^d$, y deje $S$ ser el aditivo semigroup generado por $A$.

Demostrar que existe un $d$-dimensiones cono convexo $C\subset {\mathbb R}^d$, de modo que todos los elementos de a $C \cap {\mathbb Z}^d$ con suficientemente grande de la norma contenida en $S$.

P. S. Siento libre para volver a etiquetar!

Answer 1

Tome $\mathcal{E}=(e_1,\ldots,e_d) \in A^d$ que es una base de $\mathbb{Q}^d$. Elegimos la norma $|| \cdot ||$ $|| \cdot ||_{\infty,\mathcal{E}}$ (sup-norma de los coeficientes en base a $\mathcal{E}$).

$\mathbb{Z}e_1 + \ldots + \mathbb{Z}e_d$ contiene $N \mathbb{Z}^d$ para algún entero positivo $N$. Deje $C_0$ ser el cono generado por los $e_i$'s. Tome $C$ a ser el cono generado por $f_1,\ldots,f_n$ donde $f_i = e_i + \epsilon \sum_{j \neq i} e_j$, la elección de $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeño como para que $(f_1,\ldots,f_n)$ es gratis. Existe $\eta>0$ (dependiendo $\epsilon$) tal que para cada a $x \in C$, los coeficientes de $x$ en base a la $\mathcal{E}$ todos los $\geq \eta ||x||$, lo $B(x,\eta ||x||) \subset C_0$ (saca una foto!).

Ahora elija $s_1,\ldots,s_k \in S$ agotador $\mathbb{Z}^d/N\mathbb{Z}^d$. Deje $M=\max_i ||s_i||$. Tome $x \in C \cap \mathbb{Z}^d$,$||x||>M/\eta$. Existe $i$ tal que $x-s_i \in N \mathbb{Z}^d$, e $x-s_i \in B(x,M) \subset C_0$, por lo que los coeficientes de $x-s_i$ $\mathcal{E}$ son enteros no negativos.

Como consecuencia, $x=s_i+(x-s_i)$$S$.

Editar:

Sólo para agregar rigor a la declaración de la "imagen": si $x = \sum_i x_i f_i \in C$, y si $x_{i_0} = \max_i x_i$, $x = \sum_i y_i e_i$ $y_{i_0} = \max_i y_i \leq (1+(d-1)\epsilon ) x_{i_0}$ $y_i \geq \epsilon x_{i_0}$ por cada $i$, por lo que el $y_i \geq \epsilon / (1+(d-1)\epsilon) ||x||$.