Involuciones del segundo tipo en un álgebra de división

Question

Estoy tratando de averiguar algunos detalles sobre las involuciones del álgebra de la división, pensé que tal vez alguien aquí podría tener una mejor visión.

Dejemos que $k$ ser un $p$ -o campo numérico, y que $K=k[\sqrt{\delta}]$ sea una extensión no trivial de grado $2$ . Para $x\in K$ , dejemos que $\bar{x}$ denotan el conjugado de $x$ bajo la no trivial $K/k$ automorfismo. Sea $D$ sea un álgebra de división de grado $\ell$ con $Z(D)=K$ . Para simplificar, supondremos que $\ell$ es primo (o incluso $\ell=3$ es suficiente por el momento).

Una involución del segundo tipo de $D$ es un $k$ -antiautomorfismo lineal de $\tau:D\to D$ que coincide con $\bar{ }$ en $K$ y es de orden dos. Es decir, para cualquier $t,s\in D$ y $\alpha,\beta\in $ K$

$$(1)\:\tau(\alpha t+\beta s)=\bar{\alpha}\tau(t)+\bar{\beta}\tau(s),\quad(2)\: \tau(st)=\tau(t)\tau(s),\quad\text{and}\quad(2)\:\tau^2(t)=t.$$

Tenga en cuenta que si $\tau,\eta$ son dos involuciones de tipo 2 de $D$ entonces $\tau\circ\mu$ es un $K$ -automorfismo de $D$ . Se deduce fácilmente (por el teorema de Skolem-Noether) que existe algún $\gamma\in D$ tal que $\tau(t)=\gamma^{-1}\mu(t)\gamma$ para todos $t\in D$ .

En el caso de que $D$ es un álgebra de cuaterniones sobre $K$ (es decir, un álgebra de división de grado $2$ ), se puede construir una involución no trivial del segundo tipo sobre $D$ de la siguiente manera:

• Como el orden de las álgebras de cuaterniones en el grupo de Brauer de un campo es dos, se deduce que para cualquier campo $L$ y el álgebra de cuaterniones $L$ tiene un $L$ -involución (es decir, una $L$ -automorfismo lineal del álgebra). Esto es así ya que el hecho de que $L$ tiene orden dos en el grupo de Brauer es equivalente a $L$ siendo isomorfo a $L^{op}$ el álgebra opuesta, y por lo tanto la existencia de un mapa no trivial $L\to L^{op}$ que es lo mismo que un antiautomorfismo.
• Dejemos que $\mathbf{d}$ sea un álgebra de cuaterniones sobre $k$ y que $\tau':\mathbf{d}\to\mathbf{d}$ sea el no trivial $k$ involución.
• Una muestra que $D\cong \mathbf{d}\otimes_K K$ como $K$ -y que el mapa definido en los generadores por $\tau(t\otimes \alpha)=\tau(t)\otimes \bar{\alpha}$ es un automorfismo de campo.

La pregunta es ¿qué ocurre con las titulaciones superiores?

En el libro "The Book of Involutions", Knus presenta un argumento para la existencia de una involución no trivial del segundo tipo en $D$ . En concreto, dicha involución existe si y sólo si la norma $N_{K/k}(D)$ es una división $F$ álgebra (ver $\S 3$ del libro para la definición del álgebra normativa, lo añadiré aquí si alguien lo solicita).

Mi problema con la prueba de Knus es que no es constructiva, en el sentido de que presenta al lector una biyección entre el conjunto de involuciones de 2º tipo de $D$ y algún conjunto específico de ideales del lado izquierdo en $N_{K/k}(D)$ pero muestra que tales ideales existen si se cumple la condición de división. Pero me resulta terriblemente poco claro cómo volver a construir tal involución una vez que se ha demostrado que existe.

Así que, después de toda esta larga introducción, aquí está mi pregunta

Pregunta : ¿Alguien conoce un ejemplo de un álgebra de división de grado 3 (o superior) sobre un $p$ -¿un campo global o adico, que tiene una involución no trivial y explícitamente presentada del segundo tipo?

Agradecería mucho cualquier referencia o ejemplo que alguien pueda ofrecer.

Gracias.

Answer 1

Esta es una pregunta tan antigua que supongo que ya conoces esta historia. Aun así, he pensado que podría ser útil registrar una respuesta.

En realidad, la estrategia expuesta por @Jyrki en los comentarios sí funciona. Como él menciona, es necesario pasar por la teoría local, y aquí están los detalles: dejemos que $d$ sea un entero cuadrado libre y considere $\mathbf{Q}[\sqrt{d}]$ y que $D$ sea su discriminante, es decir $D = \begin{cases}d \text{ if } d \text{ is congruent to } 1 \text{ modulo }4\\ 4d \text{ otherwise } \end{cases}$ . Tiene dos lugares reales (resp. un lugar complejo) si $d$ es positivo (resp. negativo). Vamos a trabajar los lugares finitos, que son de 3 tipos:

1) $p$ dividiendo $D$ Entonces $p$ ramifica, y se tiene una incrustación (hasta la conjugación) $\nu_p\colon \mathbf{Q}[\sqrt{d}]\to \mathbf{Q}_p[\sqrt{d}]\colon a+b\sqrt{d}\mapsto a+b\sqrt{d}$ (nota que $\mathbf{Q}_p[\sqrt{d}]$ es una extensión ramificada de $\mathbf{Q}_p$ ).

2) $p$ no dividir $D$ tal que $d$ no es una raíz cuadrada en $\mathbf{Q}_p$ Entonces $p$ se llama inerte y tiene una incrustación (hasta la conjugación) $\nu_p\colon \mathbf{Q}[\sqrt{d}]\to \mathbf{Q}_p[\sqrt{d}]\colon a+b\sqrt{d}\mapsto a+b\sqrt{d}$

3) $p$ tal que $d$ es una raíz cuadrada en $\mathbf{Q}_p$ Entonces $p$ se llama split y se tienen dos incrustaciones no equivalentes $\nu_{\pm p}\colon \mathbf{Q}[\sqrt{d}]\to \mathbf{Q}_p\colon a+b\sqrt{d}\mapsto a\pm b\sqrt{d}$ .

Para fijar las ideas y las anotaciones (y para seguir con el comentario de Jyrki), digamos $d=-1$ . Por el teorema de Hasse, existe un álgebra de división D sobre $\mathbf{Q}[i]$ con invariante local de Hasse $$([0],[0],[0],[\frac{1}{l},\frac{-1}{l}],[0],[0],[0,0],[0,0]\dots),$$ para $l$ cualquier número entero $\geq 1$ . Explicación sobre la notación: el primer paréntesis corresponde al lugar complejo, y los siguientes corresponden a los primos en orden creciente, recordando que algunos primos (los divididos) contienen dos lugares.

Dejemos que $\tau \colon \mathbf{Q}[i]\to \mathbf{Q}[i]\colon a+bi\mapsto a-bi $ sea el automorfismo de Galois no trivial. Sea $D^{\tau}$ sea el conjugado de $D$ (es decir, como un anillo, $D^{\tau} = D$ pero el $\mathbf{Q}[i]$ -La estructura del álgebra se retuerce por $\tau$ ). Por construcción, $D^{\tau}\cong D^{\text{op}} $ (¡sólo hay que ver las invariantes locales!). Así que, ¡ese es tu ejemplo! (y de hecho, también es el descrito por Jyrki en su comentario).

También es satisfactorio saber que este ejemplo es de hecho el genérico cuando se trabaja sobre un campo numérico. En efecto, como usted señala en su pregunta, un álgebra simple central posee una involución de segundo tipo si y sólo si el álgebra corestringida se divide. Y sobre un campo de números, este es el caso si y sólo si todos los primos divididos contienen invariantes locales que suman $0$ (como $\frac{1}{l}$ y $\frac{-1}{l}$ en el ejemplo anterior). Véase el artículo "On the restriction and corestriction of algebras over number fields" de Kleinert.

Para terminar, permítanme hacer una observación no relacionada: para $A$ un álgebra de división sobre $\mathbf{Q}[\sqrt{d}]$ y teniendo una involución $\sigma$ del segundo tipo, se puede formar el grupo algebraico SU $(A,\sigma )$ y uno podría preguntarse en qué se convierte este grupo sobre lugares finitos. La respuesta es sencilla: para todos los primos no divididos $p$ y el lugar correspondiente $v$ es el grupo algebraico SU $(A_v,\sigma_v )$ mientras que para $v$ perteneciente a un lugar dividido, es el grupo SL $_1(A_v)$ (nótese que la involución no se extiende a la terminación en esos casos, atendiendo así a la preocupación de @Kimball).