Voy a añadir un poco a mi comentario sobre la pregunta, aunque esto debería ser una respuesta autónoma.
Motivación
La idea es que los límites directos (colímites sobre un preorden dirigido) son buenos y tienen buenas propiedades que los colímites generales no tienen, como la conmutación con límites finitos. También son mucho más computables y comprensibles en comparación con los colímetros generales.
Sin embargo, esto restringe nuestra fuente de diagramas a ser preórdenes dirigidas. Pero hay circunstancias en las que deseamos utilizar categorías de dominio más generales, y pensamos que deberían tener propiedades similares.
Por ejemplo, los recubrimientos de los espacios topológicos forman un preorden dirigido bajo refinamiento, si simplemente declaramos un recubrimiento $\mathcal{U}$ para perfeccionar $\mathcal{V}$ si para todo $U\in\newcommand\U{\mathcal{U}}\U$ hay algo de $V\in\newcommand\V{\mathcal{V}}\V$ con $U\subseteq V$ .
Sin embargo, tal vez no sea ésta la mejor manera de pensar en la categoría de cubiertas abiertas, dependiendo de la situación. En su lugar, puede que queramos hacer un seguimiento de una elección particular de $V$ y el mapa de inclusión $U\subseteq V$ para cada $U$ . Ahora tenemos una categoría de coberturas bajo refinamiento, que podría no ser un preorden. Por ejemplo, si $\V=\{A,B\}$ y algunos $U\in\U$ es un subconjunto de $A\cap B$ entonces hay al menos dos morfismos de refinamiento de $\U\to \V$ (suponiendo que haya alguno). Sin embargo, esperamos que los colímites sobre la categoría de refinamiento tengan la misma propiedad agradable que los colímites sobre nuestro preorden de refinamiento con el que empezamos.
Por lo tanto, necesitamos generalizar la noción de direccionalidad de los preórdenes a todas las categorías de tal manera que se especialice en la direccionalidad de los preórdenes, e idealmente preserve las buenas propiedades que queremos.
Categorías filtradas y pedidos directos
Esto da lugar a la noción de categorías filtradas.
Recordemos que un preordenado dirigido es un conjunto preordenado (no vacío) con la propiedad de que para cualquier $x$ y $y$ existe $z$ con $z\ge x$ y $z\ge y$ .
Estos supuestos se traducen en los requisitos 1 y 2 de las categorías dirigidas.
Hacemos la suposición (inofensiva) de que una categoría dirigida $J$ (Es inofensivo porque sólo estamos excluyendo una categoría, cuyo colímite sabemos que es el objeto inicial, por lo que no está de más excluir este caso, y puede facilitar el enunciado de los teoremas).
El requisito 2 dice que para cualquier objeto $j$ y $j'$ podemos encontrar un objeto $k$ con $u:j\to k$ y $v:j'\to k$ . Para un preorden esto se reduce precisamente a para todo $x$ y $y$ podemos encontrar $z$ con $x\le z$ y $y\le z$ ya que un morfismo en un preorden de $x$ a $z$ existe exactamente cuando $x\le z$ y de forma similar para $y$ y $z$ .
El requisito 3 es el nuevo requisito, pero notaremos que se satisface trivialmente con los preórdenes, ya que nunca hay dos morfismos paralelos distintos.
Así, un preorden es filtrado si y sólo si es dirigido.
Comprender el requisito 3
¿Por qué entonces incluimos el requisito 3? Bien, dice que $u$ y $v$ pueden ser coigualados por alguna flecha. ¿Qué nos da esto? Bien, supongamos que tenemos un colímite de un diagrama $X$ sobre una categoría filtrada $J$ sur $\mathbf{Set}$ .
Para cada $j\in J$ tenemos un conjunto $X_j$ y para cada $u:j\to k$ sur $J$ tenemos una función $u_*:X_j\to X_k$ . Queremos entender el colímite de $X$ . Sabemos que el colímite es el cociente de la unión disjunta $\coprod_{j\in J} X_j$ bajo la relación de equivalencia generada por $x\sim u_*x$ para todos $j,k\in J$ , $u:j\to k$ y $x\in X_j$ .
Para los límites dirigidos, sabemos que podemos identificar esta relación con lo siguiente: $x\sim y$ para $x\in X_j$ , $y\in X_k$ si hay algún $l\in J$ con $u:j\to l$ y $v:k\to l$ tal que $u_*x=v_*y$ . Nos gustaría que este fuera también el caso de las categorías generales filtradas.
Ciertamente, esta relación siempre está contenida en la relación generada por $x\sim u_*x$ Así que sólo tenemos que demostrar que si $x\sim y$ en el colímite para $x\in X_j$ , $y\in X_k$ entonces podemos encontrar tal $l$ y morfismos $u$ y $v$ .
Supongamos entonces que tenemos $x\sim y$ . Esto significa que tenemos un zig-zag de morfismos $$j=j_0\to j'_0 \leftarrow j_1\to j'_1 \leftarrow \cdots \to j'_{n-1} \leftarrow j_n=k$$ y elementos $x_0,\ldots,x_n\in X_{j_0},\ldots,X_{j_n}$ de manera que al empujar $x_i$ y $x_{i+1}$ a $X_{j'_i}$ da el mismo resultado.
Queremos demostrar que, de hecho, siempre podemos tomar $n=1$ y lo demostraremos usando nuestras suposiciones para reducir $n$ por $1$ cuando $n\ge 2$ .
Toma $j'_{n-2}$ y $j'_{n-1}$ y encontrar algunos $j''$ con morfismos $j'_{n-2}\to j''$ y $j'_{n-1}\to j''$ . Nos gustaría reemplazar el $$j_{n-2}\to j'_{n-2}\leftarrow j_{n-1} \to j'_{n-1}\leftarrow j_n$$ parte de nuestro zig-zag con $$j_{n-2}\to j'_{n-2}\to j'' \leftarrow j'_{n-1}\leftarrow j_n,$$ lo que nos daría un zig-zag más corto, pero tenemos un problema. Sabemos que empujar $x_{n-2}$ y $x_{n-1}$ a $j'_{n-2}$ da el mismo resultado, y empujando $x_{n-1}$ y $x_n$ a $j'_{n-1}$ da el mismo resultado, pero ¿qué pasa con la pulsación de $x_{n-2}$ y $x_n$ a $j''$ ?
Bueno, no lo sabemos. Para $x_{n-2}$ Esto es lo mismo que empujar $x_{n-1}$ a $j'_{n-2}$ y luego a $j''$ y para $x_n$ Esto es lo mismo que empujar $x_{n-1}$ a $j'_{n-1}$ y luego a $j''$ pero no sabemos si tienen el mismo resultado.
Sin embargo, se trata de mapas paralelos de $j_{n-1}$ a $j''$ lo que significa que podemos encontrar algún mapa de $j''$ a algunos $j^{(3)}$ lo que hace que estos dos mapas sean iguales. Entonces, si utilizamos $j^{(3)}$ en lugar de $j''$ obtenemos un zig-zag que tiene una longitud $n-1$ , según se desee.
Esto completa la prueba, aunque hay que reconocer que puede ser muy poco clara, ya que no puedo dibujar las imágenes que tengo en la cabeza en esta plataforma.
Comentario final, una reinterpretación de los axiomas
Un conjunto equivalente de requisitos para una categoría dirigida $J$ es la siguiente
- $J$ es no vacío
- Para cualquier diagrama finito $X$ sur $J$ Hay un cocón.
Esto se debe a que el requisito 2 en su versión está diciendo esencialmente que los diagramas de productos finitos tienen cocos y el requisito 3 está diciendo que los diagramas coequalizadores tienen cocos. Juntando todo esto, la misma idea de prueba que (coproductos binarios + coequalizadores = finitamente cocompletos) da que todos los diagramas finitos tienen cocos.
Esto también simplifica drásticamente la parte final de mi prueba anterior. Podemos simplemente llevar un cocón al zig-zag, y automáticamente serán los objetos y morfismos que estamos buscando.
3 votos
Los colímites filtrados son importantes sobre todo porque conmutan con límites finitos. Esto es importante en teoría de topos, por ejemplo, para demostrar por qué ciertos functores definidos en términos de colímitos preservan límites finitos, lo cual es un paso para demostrar el teorema de Diaconescu.
0 votos
La cuestión es que los límites directos e inversos (lo que tú llamas límites proyectivos e inductivos (? inyectivos?) no necesariamente en cualquier orden) están restringidos por la suposición de que la forma del diagrama es un preorden dirigido. Las categorías filtradas generalizan el supuesto dirigido de los preórdenes a todas las categorías de tal manera que, como dice Malice Vidrine más arriba, las buenas propiedades de los límites directos se generalizan a todos los colímites filtrados. (Lo mismo ocurre con los límites inversos y los límites cofiltrados).