Inversa de una función integral

Question

$$f(x) =\int_0^x \sin(t)\,dt.$$

Tengo que calcular $(f^{-1})'(0)$ y sé que implica la fórmula de la derivada de una función inversa $1/f'(f^{-1}(x))$ y que $f' = \sin(x)$ pero no sé cómo encontrar $f^{-1}$ de una función inversa.

Answer 1

Tienes que encontrar $(f^{-1})'(0)$ y sabes por la fórmula que has mencionado que $$(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(0))}.$$ Ahora, dado que $$f(x) =\int_0^x \sin(t)\,dt,$$ tienes que $f(0) = 0$ y así $f^{-1}(0) = 0$ también. Eso simplifica la cuestión a encontrar $$(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(0)}.$$ También ha dicho que $f'(x) = \sin(x)$ y como $\sin(0) = 0$ tienes que $(f^{-1})'(0)$ es indefinido, y de hecho $(f^{-1})'(x) \to \infty$ como $x\to 0^{+}$ .

Como alternativa, se puede calcular directamente que $$f(x) = \int_{0}^{x}\sin(t)\,dt = -\cos(t)\bigg|_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$$ y así $$f^{-1}(x) = \arccos(1-x).$$ La diferenciación, entonces, nos da $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}.$$ De nuevo, tenemos que $(f^{-1})'(0)$ es indefinido, y $(f^{-1})'(x) \to \infty$ como $x\to 0^{+}$ .

Answer 2

Si tienes: $$y=f^{-1}(x)\Rightarrow x=f(y)$$ $$\frac{dx}{dy}=f'(y)$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$ Así que..: $$\left[f^{-1}\right]'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}$$ Por si te interesa saber de dónde viene esa fórmula.

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$$f(x)=\int_0^x\sin(t)dt=\left[-\cos(t)\right]_0^x=1-\cos(x)$$ $$f'(x)=\sin(x)$$ ahora para encontrar la función inversa resuelve lo siguiente para $y$ : $$x=1-\cos(y)$$ $$\cos(y)=1-x$$ $$y=\arccos(1-x)=f^{-1}(x)$$ ahora combina los dos y ya está hecho :)