Si $A$ es compacto y $B$ cerrado entonces $d(A,B)>0$

Question

Quiero demostrar que en un espacio métrico si $A$ es compacto , $B$ está cerrada de forma que $A\cap B=\emptyset$ entonces $d(A,B)>0$ .

Quiero demostrar esto por contradicción si supongo que $d(A,B)=0$ ¿cómo encontrar una contradicción?

aplico la caracterización de $\inf$ he encontrado que $$\forall n>0, \exists (a_n)\subset A, (b_n)\subset B, d(a_n,b_n)\leq \frac{1}{n}$$ Como $A$ es compacto existe una subsecuencia convergente $(a_{n_k})$ pero qué hacer para $(b_n)$ ? por favor

Answer 1

Supongamos que $d(A,B)=0$ entonces $\exists \{a_n\} \subset A$ y $\{b_n\} \subset B$ tal que $|a_n - b_n | \to 0$ . Ahora bien, A es compacto por lo que $\exists \{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}$ tal que $a_{n_k} \to a$ . Ahora, $|a-b_{n_k}| \leq |a-a_{n_k}| + |a_{n_k}-b_{n_k}| \to_{k \to \infty} 0$ .

Así, hemos demostrado que $a$ es en realidad un punto límite en $\{b_n\}$ y por lo tanto $a \in B$ pero $a \in A$ y así hemos contradicho el hecho de que $A \cap B = \emptyset$ .