Encuentre $f$ si $f(f(x))=\sqrt{1-x^2}$

Question

Encuentre $f$ si $f(f(x))=\sqrt{1-x^2} \land [-1; 1] \subseteq Dom(f)$ $$$$ Por favor, indique tanto las funciones reales como las complejas. Puede ser continua o no (si f es real)

Answer 1

Adiviné que $f$ es de la forma $\sqrt{ax^2+b}$ . Entonces, $f^2$ est $\sqrt{a^2x^2 + \frac{a^2-1}{a-1}b}$ . A partir de aquí, es álgebra: $$ a^2 =-1 \implies a = i ~~\text{and}~~\frac{a^2-1}{a-1}b = 1 \implies b = \frac{1-i}{2} $$ Así que obtenemos $f(x) = \sqrt{ix^2 + \frac{1-i}{2}}$ . Lo he comprobado utilizando Wolfram y $f^2$ parece ser lo que queremos.

ACLARACIÓN: Esta no es la única solución.

Answer 2

Consideremos las funciones reales sobre $[0, 1].$ Observe que $\sqrt{1-x^2}$ es una involución, así que piensa en ella como una permutación del conjunto (infinito) $[0, 1]$ Su tipo de ciclo es un producto de transposiciones disjuntas. Ahora bien, se supone que esta permutación es un cuadrado de alguna otra permutación, y aunque una transposición no es un cuadrado de una permutación (finitamente soportada), por razones de signo, un producto de dos transposiciones disjuntas sí lo es (es un cuadrado de un cuatriciclo). Así que, rompe tus transposiciones en pares de la manera que prefieras, y ahí tienes tu función (que no es muy continua, en general). Este argumento parece indicar que no se puede extender dicha función a $[-1, 1],$ aunque podría estar equivocado.

EDITAR Lo anterior, puede, de hecho, completarse con una función definida en $[-1, 1].$

Toma $x<0.$ si $-x$ se ajusta a un ciclo de cuatro $(-x, a, \sqrt{1-x^2}, b)$ mapa $x$ a $a.$

OTRA EDICIÓN Por supuesto, esto también responde a la cuestión de la unicidad: existen incontables funciones de este tipo.

Answer 3

No sé cómo enfocar el caso real, pero aquí hay una forma de resolverlo si se permite $f$ para ser complejo.

Empezar por la suposición $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ . Es casi funciona, y sugiere probar la familia más grande $$f(x) = \sqrt{a-bx^2}.$$ ¿Para qué valores de $a,b$ hace $f(f(x)) = \sqrt{1-x^2}$ ?