Sobre un campo, ¿son las álgebras finitamente generadas lo mismo que las álgebras finitamente presentables?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y escriba $C_k$ para la categoría de álgebras conmutativas, asociativas y unitales sobre $k$ . Digamos que un objeto $A\in C_k$ est finamente presentable si el functor representable $\hom(A,-):C_k\to \mathbf{Set}$ preserva los colímetros dirigidos.

¿Es un álgebra finitamente presentable lo mismo que un álgebra finitamente generada en el sentido ordinario del álgebra abstracta?

Answer 1

Sí, pero este es un resultado algo especial. Por lo general, cabe esperar que los objetos finitamente presentables sean los artilugios algebraicos con un presentación . En una categoría generalmente algebraica, tener un número finito de generadores no implica tener una presentación finita. Por ejemplo, el ideal $(X_1,X_2,...)$ en el anillo de polinomios en un número contable de variables no está generado finitamente, por lo que el cociente por él no está presentado finitamente. Esto no ocurre sobre un campo, o sobre un anillo noetheriano, ya que los ideales de los anillos de polinomios en muchas variables finitas están todos finitamente generados.