Integral exponencial con raíz cuadrada en potencia

Question

He estado tratando de resolver una integral. Sé que la solución existe para la forma

$$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2}\int_{0}^{\mathcal{R}_{\mathcal{G}}} \exp (-\Phi r^{\alpha}) r\, {\rm d}r,$$

donde $\alpha>0, \mathcal{R}>0$ . Sin embargo, quiero resolver

$$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2}\int_{0}^{\mathcal{R}} \exp \left(-\Phi \left(\sqrt{r^2+h^2}\right)^{\alpha}\right) r\, {\rm d}r,$$

donde $\Phi>0$ , $\alpha>0, \mathcal{R}>0$ . Lo he intentado, pero al sustituirlo por $t=r^2+h^2$ El límite inferior de la integral se convierte en h y he buscado en la tabla de integrales (3.351) una solución equivalente, pero no hay esperanza. ¿Alguna ayuda sobre esto, por favor?

Answer 1

Utilizando la expansión de $e^x$ vemos $$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2}\int_{0}^{\mathcal{R}} \exp \left(-\Phi \left(\sqrt{r^2+h^2}\right)^{\alpha}\right) r\, {\rm d}r,$$ $$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2}\int_{0}^{\mathcal{R}} \sum_{n\geq0}\dfrac{1}{n!}\left(-\Phi \left(\sqrt{r^2+h^2}\right)^{\alpha}\right)^n r\, {\rm d}r,$$ $$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2} \sum_{n\geq0}\dfrac{(-\Phi )^n}{2n!}\int_{0}^{\mathcal{R}} \left(r^2+h^2\right)^{n\alpha/2} 2r\, {\rm d}r,$$ $$1- \dfrac{2}{\mathcal{R}^2} \sum_{n\geq0}\dfrac{(-\Phi )^n}{2n!(\frac{n\alpha}{2}+1)}\left[ \left(\mathcal{R}^2+h^2\right)^{\frac{n\alpha}{2}+1} -\left(h\right)^{n\alpha+2}\right]$$

Answer 2

Su integral es algo así

$$ I=\int x\, \mathrm{e}^{-a\left(x^2+b^2\right)^\frac{n}{2}}\,\mathrm{d}x $$

El cambio de variable $u=a^\frac{2}{n}\left(x^2+b^2\right)$ danos

$$I=\frac{1}{2a^\frac{2}{n}}\int\mathrm{e}^{-u^\frac{n}{2}}\,\mathrm{d}u $$

La última integral está relacionada con la función Gamma incompleta :

$$\int\mathrm{e}^{-u^\frac{n}{2}}\,\mathrm{d}u= -\frac{2\operatorname{\Gamma}\left(\frac{2}{n},u^\frac{n}{2}\right)}{n}.$$

Así que,

$$ I= -\frac{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{2}{n},u^\frac{n}{2}\right)}{na^\frac{2}{n}}=-\frac{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{2}{n},a\left(x^2+b^2\right)^\frac{n}{2}\right)}{na^\frac{2}{n}}.$$

Answer 3

Haciendo lo mismo que Dinesh Shankar en su respuesta. $$f(R)=1- \dfrac{2}{{R}^2}\int_{0}^R \exp \left(-\Phi \left(\sqrt{r^2+h^2}\right)^{\alpha}\right)\, r\, dr$$ $$f(R)=1-\frac{2 }{\alpha\, R^2\,\Phi ^{2/\alpha }}\left( \Gamma \left(\frac{2}{\alpha },\left(h^2\right)^{\alpha /2} \Phi \right)-\Gamma \left(\frac{2}{\alpha },\left(h^2+R^2\right)^{\alpha /2} \Phi \right)\right)$$