Si $X$ y $Y$ son independientes. ¿Qué tal si $X^2$ y $Y$ ? ¿Y qué hay de $f(X)$ y $g(Y)$ ?

Question

Si $X$ y $Y$ son independientes. ¿Qué tal si $X^2$ y $Y$ ? ¿Y qué hay de $f(X)$ y $g(Y)$ ? Siempre tengo confusión al respecto. Me siento ... sí por supuesto $f(X)$ y $g(Y)$ son independientes, porque $X$ y $Y$ son. Pero ¿es correcto? Entonces, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Por definición tenemos que $X,Y$ son independientes si $F(x,y) = F_X (x) F_Y(y)$ . Es decir, que $$ P\{X \le x , Y \le y \} = P \{X \le x \} P \{Y \le y \} $$ con esto se puede probar que, para cualquier $A,B$ Conjuntos de Borel $$ P\{X \in A , Y \in B \} = P \{X \in A \} P \{Y \in B \} $$ retenciones. Ahora dejemos que $g,h$ sean funciones medibles \begin{align*} F_{g(X), g(Y)} (x,y) =& P \{ g(X) \le x, g(Y) \le y \} = P \{ X \in g^{-1} (-\infty,x], Y \in h^{-1}(-\infty, y] \} \\ =& P \{X \in g^{-1} (-\infty,x] \} P \{Y \in h^{-1}(-\infty, y] \} = P \{g(X) \le x \} P \{h(Y) \le y \} \\ =& F_{g(X)}(x) F_{g(Y)}(y) \end{align*} Con esto concluye la prueba.

Saludos,

D