$x^d-1|x^n-1$ si $d|n$

Question

Este es un ejercicio que resolví antes muchos semestres, y solo recuerdo que lo resolví de una manera muy complicada(o estúpida), hoy cuando necesito usar este ejercicio como herramienta me pregunto si hay algunas pruebas breves

Gracias por la ayuda de todos.

Answer 1

El "sólo si" es la dirección más difícil. Dejemos que $j$ sea el menor número entero no negativo s.t. $d|(n-j)$ . Supongamos que $j$ es positivo. Entonces $j<d$ y [asumiendo la dirección "si"] $$(x^d-1)|(x^{n-j}-1)x^j$$ $$= x^n-1-(x^j-1).$$ Así que el resto de $x^n-1$ dividido por $x^d-1$ es distinto de cero, precisamente un polinomio de grado precisamente $j$ , a saber $x^j-1$ .

Para ver la dirección "si" dejemos $y=x^d$ . Entonces $x^d-1=y-1$ y $x^n-1=y^{\frac{n}{d}}-1$ donde $\frac{n}{d}$ es un número entero positivo.