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Densidad de algunos intervalos cuyas longitudes son potencias de 2

Dejemos que N={0,1,2,} . Definir el densidad de potencia superior de un conjunto AN para ser ¯dp(A)=lim sup En otras palabras, \bar{d_p}(A) es la densidad superior del conjunto B que se obtiene sustituyendo cada n\in\mathbb{N} con un intervalo de longitud 2^n . Evidentemente, para cada A\subseteq\mathbb{N} , ya sea \bar{d_p}(A) \ge 1/2 o \bar{d_p}(A^C) \ge 1/2 .

Pregunta : ¿Existe un conjunto A\subseteq\mathbb{N} tal que \bar{d_p}(A) = \bar{d_p}(A^C) = 1/2 ? Si no es así, ¿cuál es el máximo \alpha\in [0,1] tal que para cada A\subseteq\mathbb{N} , ya sea \bar{d_p}(A)\ge \alpha o \bar{d_p}(A^C) \ge \alpha ?

Tenga en cuenta que \bar{d_p}(evens) = \bar{d_p}(odds) = 2/3 .

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Derek Mahar Puntos 128

Casi justo después de publicar esta pregunta, encontré lo que creo que es una respuesta fácil. Oh, bueno.

Supongamos que para un número infinito de n , ambos n y n+1 están en A . Entonces, para tal n tenemos \frac{\sum\{2^k\;|\; k\in A\cap \{1,\ldots,n+1\}\}}{1 + 2 + \cdots + 2^{n+1}} \ge \frac{2^n + 2^{n+1}}{2^{n+2} - 1} \approx 3/4, así que \bar{d_p}(A) \ge 3/4 .

Por supuesto, si hay un número infinito de n tal que ni n ni n+1 están en A entonces tenemos \bar{d_p}(A^C) \ge 3/4 .

El único otro caso es cuando, para un tamaño suficientemente grande n tenemos n\in A si y sólo si n+1\not\in A . En este caso A tiene la misma densidad de potencia superior que los pares (o las probabilidades), es decir, 2/3. Así que parece que la respuesta a la primera pregunta es no, y la \alpha de la segunda pregunta es 2/3 .

Lo que es interesante aquí es que hay esencialmente sólo dos testigos del mínimo \bar{d_p} y cualquier otro conjunto tiene \bar{d_p}(A) \ge 3/4 o \bar{d_p}(A^C) \ge 3/4 .

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Soke Puntos 8788

Para que \overline d_p(A) = \overline d_p(A^C) = 1/2 debemos tener el lim inf de A para ser también 1/2 lo que equivale a decir que el límite total es 1/2 .

Supongamos que esto fuera posible y tuviéramos un conjunto A por lo que era cierto. Entonces podemos fijar un pequeño \varepsilon (digamos que menos de 1/8 ) y encontrar N grande para el que la cantidad

s_n = \frac{\sum \{2^k \mid k \in A \cap \{0, 1, \dots, n\}\}}{1 + 2 + \dots + 2^n}

está en [1/2-\varepsilon, 1/2+\varepsilon] para todos n \geq N . Así que supongamos s_n está en el intervalo para algunos grandes n .

Para n+1 , si n+1 \not\in A entonces s_{n+1} < \frac{1}{2} s_n < 1/2 - \varepsilon , por lo que no está en el intervalo.

Para n+1 , si n+1 \in A entonces

s_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}-1}{2^{n+2} - 1} s_n + \frac{2^{n+1}}{2^{n+2} - 1} \approx \frac{1}{2} (s_n + 1) > 1/2 + \varepsilon

por lo que no existe un conjunto A para lo cual \overline d_p(A) = \overline d_p(A^C) = 1/2 .

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