Densidad de algunos intervalos cuyas longitudes son potencias de 2

Question

Dejemos que $\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}$ . Definir el densidad de potencia superior de un conjunto $A\subseteq \mathbb{N}$ para ser $$ \bar{d_p}(A) = \limsup_{n\to\infty} \frac{\sum \{2^k\;|\; k\in A\cap\{0,1,\ldots,n\}\}}{1 + 2 + \cdots + 2^n} $$ En otras palabras, $\bar{d_p}(A)$ es la densidad superior del conjunto $B$ que se obtiene sustituyendo cada $n\in\mathbb{N}$ con un intervalo de longitud $2^n$ . Evidentemente, para cada $A\subseteq\mathbb{N}$ , ya sea $\bar{d_p}(A) \ge 1/2$ o $\bar{d_p}(A^C) \ge 1/2$ .

Pregunta : ¿Existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{N}$ tal que $\bar{d_p}(A) = \bar{d_p}(A^C) = 1/2$ ? Si no es así, ¿cuál es el máximo $\alpha\in [0,1]$ tal que para cada $A\subseteq\mathbb{N}$ , ya sea $\bar{d_p}(A)\ge \alpha$ o $\bar{d_p}(A^C) \ge \alpha$ ?

Tenga en cuenta que $\bar{d_p}(evens) = \bar{d_p}(odds) = 2/3$ .

Answer 1

Casi justo después de publicar esta pregunta, encontré lo que creo que es una respuesta fácil. Oh, bueno.

Supongamos que para un número infinito de $n$ , ambos $n$ y $n+1$ están en $A$ . Entonces, para tal $n$ tenemos $$ \frac{\sum\{2^k\;|\; k\in A\cap \{1,\ldots,n+1\}\}}{1 + 2 + \cdots + 2^{n+1}} \ge \frac{2^n + 2^{n+1}}{2^{n+2} - 1} \approx 3/4, $$ así que $\bar{d_p}(A) \ge 3/4$ .

Por supuesto, si hay un número infinito de $n$ tal que ni $n$ ni $n+1$ están en $A$ entonces tenemos $\bar{d_p}(A^C) \ge 3/4$ .

El único otro caso es cuando, para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos $n\in A$ si y sólo si $n+1\not\in A$ . En este caso $A$ tiene la misma densidad de potencia superior que los pares (o las probabilidades), es decir, 2/3. Así que parece que la respuesta a la primera pregunta es no, y la $\alpha$ de la segunda pregunta es $2/3$ .

Lo que es interesante aquí es que hay esencialmente sólo dos testigos del mínimo $\bar{d_p}$ y cualquier otro conjunto tiene $\bar{d_p}(A) \ge 3/4$ o $\bar{d_p}(A^C) \ge 3/4$ .

Answer 2

Para que $\overline d_p(A) = \overline d_p(A^C) = 1/2$ debemos tener el lim inf de $A$ para ser también $1/2$ lo que equivale a decir que el límite total es $1/2$ .

Supongamos que esto fuera posible y tuviéramos un conjunto $A$ por lo que era cierto. Entonces podemos fijar un pequeño $\varepsilon$ (digamos que menos de $1/8$ ) y encontrar $N$ grande para el que la cantidad

$$s_n = \frac{\sum \{2^k \mid k \in A \cap \{0, 1, \dots, n\}\}}{1 + 2 + \dots + 2^n}$$

está en $[1/2-\varepsilon, 1/2+\varepsilon]$ para todos $n \geq N$ . Así que supongamos $s_n$ está en el intervalo para algunos grandes $n$ .

Para $n+1$ , si $n+1 \not\in A$ entonces $s_{n+1} < \frac{1}{2} s_n < 1/2 - \varepsilon$ , por lo que no está en el intervalo.

Para $n+1$ , si $n+1 \in A$ entonces

$$s_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}-1}{2^{n+2} - 1} s_n + \frac{2^{n+1}}{2^{n+2} - 1} \approx \frac{1}{2} (s_n + 1) > 1/2 + \varepsilon$$

por lo que no existe un conjunto $A$ para lo cual $\overline d_p(A) = \overline d_p(A^C) = 1/2$ .