Encontrar la cantidad de agua en un hemisferio utilizando la integración

Question

Un cuenco con forma de semiesfera de 60 cm de radio está parcialmente lleno de agua. La profundidad del agua es de 10 cm en el centro del cuenco. ¿Cuántos litros de agua hay en el cuenco?

Mi intento, un tanto tonto, de resolver esto fue el siguiente: 1/6 del cuenco está lleno de agua (creo), y el volumen de una semiesfera es $(2/3)\pi r^3$ La cantidad de litros de agua en el recipiente debe ser 1/6 de eso: $(1/9 )\pi r^3$ que, como es lógico, dio una respuesta errónea. Sé que debo resolverlo mediante integración, pero no sé por dónde empezar.

Answer 1

Su tazón puede ser modelado en 2-D por la ecuación $x^2+y^2=60^2$ . Lo haremos en términos de $y$ para ser $y=\sqrt{3600-x^2}$ . Sabemos que los límites son $50, 60$ porque su forma es $10$ cm de profundidad. Para calcular el volumen barrido por la curva entre $50, 60$ utilizamos la integral $$\pi\int_{50}^{60}\sqrt{3600-x^2}^2 dx$$ donde el $\pi \sqrt{3600-x^2}^2 dx$ es el volumen de una pequeña rebanada cilíndrica de su forma, y la integral consiste en sumar esas infinitas rebanadas cilíndricas infinitamente finas a la forma que el agua forma en el recipiente.

Creo que puedes calcular la integral por tu cuenta.