Es $\left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}$ ¿disminuyendo?

Question

Utilizando el Desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$ \begin{align} 1 &=\left(\int_n^{n+1}1\,\mathrm{d}x\right)^2\\ &\le\left(\int_n^{n+1}x\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_n^{n+1}\frac1x\,\mathrm{d}x\right)\\ &=\left(n+\frac12\right)\log\left(1+\frac1n\right) \end{align} $$ lo que significa que $$ \left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}\ge e $$ Esto indica que $\left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}$ puede estar disminuyendo.

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En esta respuesta se demuestra que $\left(1+\frac1n\right)^n$ está aumentando y $\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ es decreciente. Las pruebas utilizan La desigualdad de Bernoulli . Sin embargo, aplicando Bernoulli a $\left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}$ no es concluyente.

Intentar mostrar la disminución: $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{2n-1}}{\left(1+\frac1n\right)^{2n+1}} &=\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{2n}\frac{n-1}{n+1}\\ &\ge\left(1+\frac{2n}{n^2-1}\right)\frac{n-1}{n+1}\\[6pt] &=1-\frac{2}{(n+1)^2} \end{align} $$ Intentar mostrar el aumento: $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1n\right)^{2n+1}}{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{2n-1}} &=\left(1-\frac1{n^2}\right)^{2n}\frac{n+1}{n-1}\\ &\ge\left(1-\frac2n\right)\frac{n+1}{n-1}\\[6pt] &=1-\frac{2}{n(n-1)} \end{align} $$ Ninguno de los dos funciona.

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Sin recurrir a las derivadas, ¿hay algo más fuerte que Bernoulli, pero igualmente elemental, que pueda utilizarse para demostrar que $\left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}$ ¿disminuye?

Answer 1

Preliminares: Un par de extensiones de la desigualdad de Bernoulli.

La desigualdad de Bernoulli dice que $(1+x)^n$ es al menos tan grande como los dos primeros términos de su expansión binomial. Resulta que, al menos para $n\in\mathbb{Z}$ que se puede obtener una desigualdad más aguda utilizando cualquier suma parcial con un número par de termas.

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Teorema $\bf{1}$ : para $m\ge1$ , $n\ge0$ y $x\gt-1$ , $$ (1+x)^n\ge\sum_{k=0}^{2m-1}\binom{n}{k}x^k\tag1 $$

Prueba (Inducción en $n$ ) : $(1)$ es trivial para $n=0$ . Supongamos que $(1)$ es cierto para $n-1$ entonces $$ \begin{align} (1+x)^n &=(1+x)(1+x)^{n-1}\tag{1a}\\[9pt] &\ge(1+x)\sum_{k=0}^{2m-1}\binom{n-1}{k}x^k\tag{1b}\\ &=\sum_{k=0}^{2m-1}\left[\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\right]x^k+\binom{n-1}{2m-1}x^{2m}\tag{1c}\\ &\ge\sum_{k=0}^{2m-1}\binom{n}{k}x^k\tag{1d} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(1a)}$ : factor
$\text{(1b)}$ La suposición de que $n-1$
$\text{(1c)}$ : multiplica la suma por $1+x$
$\text{(1d)}$ : Regla de Pascal

Así, $(1)$ es cierto para $n$ .
${\large\square}$

Teorema $\bf{2}$ : para $m\ge1$ , $n\ge0$ y $x\gt-1$ , $$ (1+x)^{-n}\ge\sum_{k=0}^{2m-1}\binom{-n}{k}x^k\tag2 $$

Prueba (Inducción en $n$ ) : Tenga en cuenta que otra forma de escribir $(2)$ es $$ (1+x)^n\sum_{k=0}^{2m-1}(-1)^k\binom{n+k-1}{k}x^k\le1\tag{2a} $$

$\text{(2a)}$ es trivial para $n=0$ . Supongamos que $\text{(2a)}$ es cierto para $n-1$ entonces $$ \begin{align} &(1+x)^n\sum_{k=0}^{2m-1}(-1)^k\binom{n+k-1}{k}x^k\\ &=(1+x)^{n-1}\sum_{k=0}^{2m-1}(-1)^k\binom{n+k-1}{k}x^k(1+x)\tag{2b}\\ &=(1+x)^{n-1}\sum_{k=0}^{2m-1}(-1)^k{\textstyle\left[\binom{n+k-1}{k}-\binom{n+k-2}{k-1}\right]}x^k-{\textstyle\binom{n+2m-2}{2m-1}}x^{2m}(1+x)^{n-1}\tag{2c}\\ &=(1+x)^{n-1}\sum_{k=0}^{2m-1}(-1)^k\binom{n+k-2}{k}x^k-\binom{n+2m-2}{2m-1}x^{2m}(1+x)^{n-1}\tag{2d}\\[9pt] &\le1\tag{2e} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(2b)}$ : factor
$\text{(2c)}$ : multiplica la suma por $1+x$
$\text{(2d)}$ : Regla de Pascal
$\text{(2e)}$ La suposición de que $n-1$

Así, $\text{(2a)}$ es cierto para $n$ .
${\large\square}$

Nótese que para exponentes enteros positivos, la desigualdad de Bernoulli es el caso $m=1$ del Teorema $1$ y para exponentes enteros negativos, es el caso $m=1$ del Teorema $2$ .

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Respuesta: Utilice el caso $m=2$ del Teorema $1$ : $$ \begin{align} &\frac{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{2n-1}}{\left(1+\frac1n\right)^{2n+1}}\\ &=\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^{2n}\frac{n-1}{n+1}\\ &\ge\left(1+\frac{2n}{n^2-1}+\frac{2n(2n-1)}{2\left(n^2-1\right)^2}+\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6\left(n^2-1\right)^3}\right)\frac{n-1}{n+1}\\ &=1+\frac{n^2+n+6}{3(n-1)(n+1)^4}\\[9pt] &\ge1 \end{align} $$ Eso es, $\left(1+\frac1n\right)^{n+1/2}$ está disminuyendo.

Answer 2

Demostraremos que esta secuencia efectivamente disminuye.

Tenemos que demostrar que $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+\frac{3}{2}}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}.$$ Dejemos que $$f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{1+x}\right)=$$ $$=(2x+2)\ln(1+x)-\left(x+\frac{1}{2}\right)\ln{x}-\left(x+\frac{3}{2}\right)\ln(x+2),$$ donde $x>0$ .

Pero $$f''(x)=\frac{2}{x^2(x+2)^2(x+1)}>0$$ y $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\ln\frac{(x+1)^2}{x(x+2)}+2-\frac{x+\frac{1}{2}}{x}-\frac{x+\frac{3}{2}}{x+2}\right)=0,$$ que dice que $f'(x)<0$ , $f$ disminuye y como es obvio que $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0,$$ obtenemos que $f(x)>0$ y nuestra secuencia efectivamente disminuye.