Dejemos que $X \to Y$ sea un morfismo proyectivo de esquemas de tipo finito con $Y = Spec(R)$ , donde $R$ es un dvr. Para que este morfismo sea suave, ¿es suficiente comprobar la suavidad sólo en los puntos cerrados de $X$ ?
Respuesta
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martin
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Por definición, existe un subesquema abierto $U$ de $X$ que contiene todos los puntos cerrados de $X$ tal que $U \to Y$ es suave. Si $U \not= X$ entonces $X \backslash U$ es un subesquema cerrado y el morfismo de $X$ a $Y$ es singular en cada punto de $X \backslash U$ . Pero $X \backslash U$ es cuasi-compacto, por lo que contiene puntos cerrados. Esto contradice la primera frase. Así que $U$ debe coincidir con $X$ .
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Se refiere a la comprobación sólo en puntos cerrados de la base (es decir. $X$ )? En caso afirmativo, tenga en cuenta que, desde el punto de vista de la definición, si $f$ es suave en $x\in X$ , es suave en un vecindario de $x$ . Por lo tanto, con condiciones suaves esto es cierto (por ejemplo, si $X$ es 'Jacobson'=todos los subconjuntos localmente cerrados contienen un punto cerrado). Es posible que se pueda prescindir de las condiciones sobre $X$ si también se supone que $f$ es plana, por lo que puede comprobar la suavidad de las fibras.