La cuestión interesante me parece que no es lo que es un número perfecto sino lo que es una función aritmética (generalizando la función divisor, la suma de divisores, el totiente, etc.) sobre un campo numérico.
Una respuesta es la siguiente. Mi opinión es que las funciones aritméticas no deben considerarse como de dominio $\mathbb{N}$ pero como teniendo el dominio el conjunto de ideales no nulos en $\mathbb{Z}$ (que puede identificarse con $\mathbb{N}$ bajo la división, pero mi punto es que la estructura aditiva de $\mathbb{N}$ no entra en esto). Convolución de Dirichlet $$f \ast g = \sum_{d | n} f(d) g (n/d)$$
puede verse entonces como un caso especial de la multiplicación en una subálgebra del álgebra de incidencia del conjunto de ideales (la subálgebra que asigna el mismo número a un intervalo $[a, b]$ como al intervalo $[1, \frac{b}{a}]$ ). La asignación de una serie de Dirichlet $$\sum \frac{f(n)}{n^s}$$
a una función aritmética no hace más que instanciar esta álgebra como un álgebra real de funciones. Ahora, el conjunto de ideales no nulos en $\mathbb{Z}$ es un producto de posets, uno por cada primo, y las funciones aritméticas que son multiplicativas (en el sentido de que $f(mn) = f(m) f(n)$ si $(m, n) = 1$ ) son los que se construyen a partir de las funciones correspondientes a cada factor. En la imagen de la serie de Dirichlet esto se refleja en la existencia de un producto de Euler $$\sum \frac{f(n)}{n^s} = \prod_p \left( \sum_{k \ge 0} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} \right).$$
La generalización a los campos numéricos es la siguiente. En cualquier dominio Dedekind $D$ podemos considerar el álgebra de incidencia del conjunto de ideales no nulos en $D$ . Esta álgebra tiene una subálgebra de funciones que asignan el mismo número a un intervalo $[I, J]$ en cuanto al intervalo $[1, I^{-1} J]$ y esto nos da la generalización apropiada de la convolución de Dirichlet $$(f \ast g)(K) = \sum_{IJ = K} f(I) g(J)$$
donde $I, J, K$ son ideales. Cuando $D$ es el anillo de enteros en un campo numérico, podemos definir normas $N(I)$ de los ideales y también asignar series de Dirichlet. Esta asignación $$\sum_I \frac{f(I)}{N(I)^s}$$
ahora no es fiel ya que puede haber diferentes ideales con la misma norma, pero sigue siendo cierto que las funciones multiplicativas (las que son tales que $f(IJ) = f(I) f(J)$ si $I, J$ generan el ideal unitario) admiten un producto de Euler $$\sum_I \frac{f(I)}{N(I)^s} = \prod_P \left( \sum_{k \ge 0} \frac{f(P^k)}{N(P)^{ks}} \right)$$
donde el producto es ahora sobre todos los ideales primos en $D$ .
Todo esto es una forma interminable de preparar el terreno para lo que realmente quería decir:
Para los campos numéricos, una función aritmética tiene ahora manifiestamente un dominio y un codominio diferentes: toma como entrada un ideal y devuelve un número.
En particular, para mí la generalización correcta de la función suma de divisores es la función $\sigma(I)$ que suma las normas de los ideales que dividen un ideal dado $I$ y ya no tiene sentido preguntarse si es igual a $I$ o $2I$ . Por supuesto, hay otras cuestiones interesantes que se pueden plantear en relación con la comparación de diferentes funciones, por ejemplo, uno podría preguntarse si $\sigma(I) = c N(I)$ para alguna constante $c$ (esto se reduce a la pregunta del número perfecto sobre $\mathbb{Q}$ tomando $c = 2$ pero creo que desde esta perspectiva queda claro que no hay nada especial en $c = 2$ ).
