Estoy tratando de entender mejor la cuantización del Oscilador Armónico.
Aquí hay tres maneras de pensar en el Oscilador Armónico.
- Funciones propias del operador diferencial: $H = -\frac{d^2}{dx^2} + x^2$
- Funciones propias del oscilador $H = a a^\dagger+ \frac{1}{2}$
- Órbitas especiales del $U(1)$ acción en el plano complejo, conjuntos de niveles del mapa de momentos $H = p^2 + x^2$ .
¿Hay algún lugar que explique los tres aspectos en igualdad de condiciones? Los puntos 1 y 2 tienen un Fórmula de la mecha $$ \langle a b c d\rangle = \langle a b \rangle \langle c d\rangle + \langle a c \rangle \langle b d\rangle + \langle a d \rangle \langle bc \rangle$$ ¿Existe un análogo en el caso de la geometría simpléctica (punto 3)?
Quiero entender mejor por qué es una dualidad
$$ {\tt rotation,}\;e^{it}\in U(1)\leftrightarrow {\tt gaussians,}\;e^{-x^2} \leftrightarrow {\tt eigenstates, }\;|n\rangle$$
Algo en ese sentido, mencionado en estas notas . ¿Se cuantifica así cualquier acción de rotación?
Esta pregunta tiene que ver con las acciones de rotación, de manera diferente a esta otra pregunta de MO: Caracterización de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico de forma rotacionalmente invariante
EDITAR Aquí hay otro post de MO donde la transformada de Bargmann surge en la cuantización del Oscilador Armónico: Representación de la doble cubierta de $U(n)$ en los espacios de eigenes de un oscilador armónico
