Cómo probar $xP(|X_1|>x) \leq E(|X_1|1(|x_1|>x))$ ?

Question

Es de una prueba de teorema en Probabilidad: Teoría y Ejemplos de Durret.

El teorema se enuncia como sigue.

Dejemos que $X_1, X_2,\dots$ ser i.i.d con $E|X_i|<\infty$ . Sea $S_n=X_1+\dots+X_n$ y que $u=E(X_1)$ . Entonces $S_n/n \rightarrow u$ en la probabilidad.

La prueba en el libro que se muestra a continuación:

Prueba: Dos aplicaciones del teorema de convergencia dominada implican

$xP(|X_1|>x)\leq E(|X_1|1(|X_1|>x))\rightarrow 0$ como $x\rightarrow \infty$

$u_n= E(|X_1|1(|X_1|\leq n))\rightarrow E(X_1)=u$ como $n\rightarrow \infty$

Mi pregunta es cómo probar $xP(|X_1|>x) \leq E(|X_1|1(|x_1|>x))$ y $E(|X_1|1(|X_1|>x))\rightarrow 0$ ?

¿Alguien puede explicarlo en detalle? Muchas gracias.

Answer 1

La primera desigualdad $x\mathbb P(|X_1|>x) \le \mathbb E\left[|X_1|1_{(|X_1|>x)}\right]$ es sólo un uso de la desigualdad de Markov: $$\mathbb E\left[|X_1|1_{(|X_1|>x)}\right] \ge \mathbb E\left[x\cdot 1_{(|X_1|>x)}\right] \ge x\mathbb P(|X_1|>x)\qquad (\because |X_1| >x\text{ on the support}).$$

El teorema de convergencia dominante implica:

• Desde $|X_1| 1_{(|X_1|>x)}$ está limitada por una función integrable $|X_1|$ ,

$$\lim_{x\to\infty}\mathbf E\left[|X_1| 1_{(|X_1|>x)}\right] = \mathbf E\left[ \lim_{x\to\infty} |X_1| 1_{(|X_1|>x)}\right] = \mathbf E\left[ 0\right]=0.$$

La prueba de $u_n\to u$ es similar a la anterior.

Answer 2

Sólo hay que calcular el $P(|X_1|>x)$ y verás las cosas que siguen. No es más que la desigualdad de Chebyshev.

Observe que $$P(|X_1|>x)=\int \mathrm{1}_{|X_1|>x}\le \int\frac{|X_1|}{x}\mathrm{1}_{|X_1|>x}.$$ La última desigualdad anterior se deduce del hecho de que en el conjunto $\{|X_1|>x\}$ tenemos $\frac{|X_1|}{x}>1.$ Ahora todo lo que se necesita es una multiplicación por $x$ en ambos lados, y obtienes la primera desigualdad de tu pregunta.

Para la segunda parte utilizamos el hecho de que $|X_1|=|X_1|\mathrm{1}_{|X_1|\le x}+|X_1|\mathrm{1}_{|X_1|>x},$ y luego utilizar el SES para argumentar que $\int |X_1|\mathrm{1}_{|X_1|\le x}\to \int |X_1|$ como $x\to \infty.$ Por lo tanto, se deduce que $\int |X_1|\mathrm{1}_{|X_1|>x}\to 0$ como $x\to \infty.$