¿Puede alguien indicarme una derivación de esta expresión? $n_s$ es el número de bosones en un estado.
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joshphysics
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Dejemos que $|\mathbf{n}\rangle = |n_0, n_1, n_2, \dots\rangle$ denotan un estado con $n_i$ partículas en el $i^\mathrm{th}$ estado energético del hamiltoniano de una sola partícula. Sea $\epsilon_i$ denotan la energía del estado con etiqueta $i$ . El $n_i$ son "números de ocupación" en la terminología estándar. Nótese que mi notación es tal que $i=0,1,2,\dots$ etiqueta distintos estados propios de energía, no niveles de energía, por lo que, en particular, en esta notación se tendría $\epsilon_i=\epsilon_j$ cuando $i\neq j$ si hubiera una degeneración en el espectro del Hamiltoniano de una sola partícula.
La función de partición gran canónica puede escribirse como sigue: $$ Z = \sum_{\mathbf n} \prod_{i=0}^\infty x_i^{n_i}, \qquad x_i = e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)} $$ donde la suma sobre $\mathbf n$ es una suma sobre secuencias admisibles de enteros no negativos. En el caso de los fermiones, dichas secuencias sólo pueden estar formadas por 1 y 0, pero en el caso de los bosones no existe tal restricción.
La fracción de población (probabilidad) de que el sistema se encuentre en el estado $|\mathbf n\rangle$ es por lo tanto $$ p(\mathbf n) = \frac{1}{Z}\prod_{i=0}^\infty x_i^{n_i} $$ De modo que el número medio de ocupación es $$ \langle n_i\rangle = \sum_{\mathbf n} n_i p(\mathbf n) $$ Un cálculo sencillo (pero ciertamente tedioso) muestra que $$ \frac{\partial}{\partial \epsilon_j}\langle n_i\rangle = -\beta\sum_{\mathbf n} (n_in_j-\langle n_j\rangle)p(\mathbf n) $$ y el ajuste $j=i$ en esta expresión da el resultado deseado.
Acabo de hacer el cálculo de forma explícita; no es obvio (o no lo era para mí) que funcione, pero lo hace. Si tienes algún problema, puedo publicar más detalles.
