¿Por qué es necesario que una teoría no tenga modelos finitos para aplicar la prueba de Los-Vaught?

Question

En la prueba de Los-Vaught, como se indica en Enderton, se dice que la teoría no debe tener ningún modelo finito como condición. Mientras leía la prueba, no entendí dónde se usa exactamente esta condición. Aquí está su prueba con una notación diferente:

Basta con demostrar que para dos modelos cualesquiera $M_1 , M_2$ de T tenemos $M_1\equiv M_2$ . Desde $M_1,M_2$ son infinitas, existen estructuras $N_1,N_2$ tener cardinalidad $k$ s.t. $M_2\cong N_2$ , $M_2\cong N_2$ (por el teorema de Löwnhein-Skolem). Así que tenemos $M_1\equiv N_1 \cong N_2 \equiv M_2$ . Así, $M_1 \equiv M_2$ .

¿Dónde está la condición de que no haya modelos finitos utilizada implícitamente en la prueba? ¿Podría alguien indicarlo?

Answer 1

Dejemos que $L$ sea el lenguaje con un único símbolo de predicado binario $\lt$ . Sea $\varphi$ sea la conjunción de los axiomas de la teoría habitual de conjuntos densamente ordenados sin primer ni último elemento. Sea $T$ sea la teoría con un solo axioma $\forall x\forall y(x=y)\lor\varphi$ . Entonces $T$ es $\omega$ -categórico pero no completo.