Gracias a Internet, encontré y entendí cómo resolver la diofantina $x^2 - Dy^2 = 1$ . Ahora me gustaría resolver la siguiente ecuación diofantina : $$x^2 - 2y^2 = x - 2y$$ pero no sé cómo hacerlo, aunque pueda leer artículos que expliquen cómo resolver la diofantina $x^2 - Dy^2 = c$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?La ecuación es
$$x^2-x-2(y^2-y)=0\iff \left(x-\frac12\right)^2-2\left(y-\frac12\right)^2-\frac14+\frac12=0\iff$$
$$\iff\left(x-\frac12\right)^2-2\left(y-\frac12\right)^2=-\frac14$$
Ahora sustituye
$$x':=x-\frac12\;\;,\;\;y':=y-\frac12$$
De modo que la ecuación se convierte en
$$x'^2-2y'^2=-\frac14$$
y ahora tiene la forma a la que estás acostumbrado.
Obsérvese que podemos reordenar la ecuación dada en la forma $$ (2x-1)^2-2(2y-1)^2=-1 $$ que es una ecuación tipo Pell. Es similar a la ecuación de Pell $x^2-2y^2=1$ y soluciones a $x^2-2y^2=\pm 1$ se puede encontrar desde el Números Pell y los números de Pell-Lucas. Todas las soluciones enteras $(2x-1,2y-1)$ son de la forma $$ \left(\frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}+(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2},\frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}-(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2\sqrt{2}}\right) $$ para algún entero no negativo $n$ y $x,y$ puede resolverse con esta fórmula para $(2x-1,2y-1)$ .