Demostrar la convergencia de la secuencia dada por $a_{1}=1$ y $a_{n+1}= \frac{1}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$

Question

Para la secuencia dada por $a_{1}=1$ y $a_{n+1}= \frac{1}{a_1+a_2+\ldots+a_n}$ Tengo que demostrar que converge a algún número y encontrar este número.

Intenté demostrar que es monótona calculando $$ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}(a_1+a_2+\ldots+a_n)} $$ pero no puedo decir nada sobre el denominador. ¿Cómo puedo tratar de encontrar su límite?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$a_{n+1} = \frac{1}{\left(a_1 + \ldots + a_{n-1}\right) + a_n} = \frac{1}{\frac{1}{a_n} + a_n} =\frac{a_n}{1 + a_n^2}$$ para $n \geq 1$ . Si se puede demostrar que es convergente, entonces, llamando al límite $\alpha$ Debemos tener $$\alpha = \frac{\alpha}{1+\alpha^2},$$ y resolviendo esto se obtiene $\alpha = 0$ .

En cuanto a probar la convergencia, la relación de recurrencia dada en la forma anterior debería ayudarte a verificar que la secuencia es efectivamente monótona decreciente, y además deberías poder comprobar que la secuencia está acotada por debajo de cero. A continuación, aplique el teorema de convergencia monótona.

Answer 2

Dejemos que $s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$ . Podemos reescribir la relación de recurrencia como

$$s_{n+1} - s_n = a_{n+1} = \frac{1}{s_n} \quad\implies s_{n+1} = s_n + \frac{1}{s_n}$$

Esto implica $$s_{n+1}^2 = s_n^2 + 2 + \frac{1}{s_n^2} \ge s_n^2 + 2$$

Así que para todos $n > 1$ tenemos

$$s_n^2 = s_1^2 + \sum_{k=1}^{n-1} (s_{k+1}^2 - s_k^2) \ge 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2n - 1$$

Dado que todos los $a_n$ es claramente positivo, tenemos $\displaystyle\;0 < a_n = \frac{1}{s_{n-1}} \le \frac{1}{\sqrt{2n-3}}$ .

Apretando, $a_n$ converge a $0$ como $n\to\infty$ .

Answer 3

1. Demostrar por inducción que $a_n\geq0$ para todos $n$ (es bastante sencillo).

2. Tendrás entonces $a_{n+1}/a_n = 1/(a_n\sum_{i=1}^n a_i) < 1$ para todos $n$ (ya que $a_1=1$ ).

Así, $a_n\geq0$ es decreciente, convergiendo a algún límite $x\geq0$ . Dicho límite debe satisfacer $x=1/\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ . Si $x>0$ tendríamos la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , lo que implica $a_n\to 0$ una contradicción. Por lo tanto, $x=\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ .